Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Groupes : oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
Publié le : mardi 9 avril 2013
Lecture(s) : 44
Source : CapMention
Nombre de pages : 1
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301 exercicessur les groupesflash 1)montrerque(A4,o)pasn'aousdesepdrguoer6odrecchauHteneoranthcieLm Pré requis: définition des groupes symétriques, d'un sous groupe. Travail de l'élève: étudier les éléments de A4. Place dans une séquence d'enseignement: recherche. Prolongations: recherche du treillis de S4. Intérêt: étude détaillée d’un cas particulier et renforcement de l’idée qu’il n’existe pas nécessairement de sous groupe dont l’ordre est un diviseur de l’ordre du groupe. 2) groupes de frises Goblot thèmes de géométrie Je me place dans E le plan affine euclidien. Je dis qu'un sous groupe G du groupe des isométries de E est un groupe de frises lorsque l'intersection de G et du groupe des translations de E est monogène infini. Soit tuun de ses générateurs. Je   note D la droite vectorielle engendrée par u dansE. Je notel'orthogonale de D pour le produit scalaire euclidien. -1 lemme : déterminer gotuog lorsque g est une application affine. En déduire les 5 images possibles de G par le morphisme direction. En déduire les 7 groupes de frises possibles.
Pré requis :classification des isométries affines en dimension 2, détermination des applications affines par leur partie linéaire et l'image d'un point, groupe des isométries d'une droite vectorielle. Travail de l'élève :établir la liste exhaustive des groupes de frises. Place dans une séquence d'enseignement: recherche. Intérêt :prolongation de l'étude des isométries en dimension 2. Indications: aucune n'est nécessaire compte tenu de la suite des questions.
3) groupes abéliens d'ordre sans facteurs carrés D-W T2 p 42 exo 5 et GRAS 4.9.1 Pré requis: notion de groupe cyclique, de groupe quotient, caractérisation de la puissance des générateurs d'un sous groupe. Travail de l'élève: mettre en œuvre l'idée "pour montrer qu'un groupe est cyclique, il suffit d'exhiber un générateur." Place dans une séquence d'enseignement: td Intérêt: établir un résultat théorique en utilisant la notion de groupe quotient. 4) formule de Burnside et application [D-W T2 ch GROUPES ET ACTIONS ex 18 et 19] Pré requis: équation aux classes. Travail de l'élève: mettre en oeuvre les notions de stabilisateur d'un élément, d'orbite. Place dans une séquence d'enseignement: td Intérêt: établir un résultat théorique pour modéliser une situation concrète ? 5) topologie de Gln(C) [Rombaldi AM] Pré requis :éléments de topologie, déterminant, réduction de Jordan. Travail de l'élève :utiliser la topologie en situation Place dans une séquence d'enseignement: td Intérêt: comparer plusieurs méthodes.
r 6) structuredes groupes U(2]rikaFlA[)teasGr
r) Exploration logicielle : à l'aide d'un logiciel de calcul, déterminer les éléments d'ordre maximal dans les U(p). Conjecturez les cas où ces groupes sont cycliques et, sinon, le maximum des ordres et une classe d'ordre maximal. k 2k 1) Pourtout k>0, montrer qu'il existe ukentier impair tel que3=14×2×u. k r 2) Endéduire l'ordre de 3 dans U(2 ). r 3) Montrerque U(2 ) est isomorphe à <-1,1>×<3> et conclure qu'il n'est pas cyclique pour r>2. Pré requis :les anneaux quotients de Z, congruences, ordre d'un élément. r Travail de l'élève :programmer, conjecturer et étudier les groupes U(2 ). Place dans une séquence d'enseignement: activité d'introduction dans le cours - prolongement : r cas des U(p ) avec p premier impair, puis caractérisation des U(n) cycliques. Intérêt: applications en arithmétique : Gallois, cyclotomiques, propriétés de la fonction d'Euler.
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