Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Avec correction. Fonctions - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
Publié le : mercredi 10 avril 2013
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Source : CapMention
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235 exponentielleet logarithme L’essentiel dans cette leçon est d’introduire l’exponentielle et le logarithme népériens, ainsi que leurs diverses propriétés, sans doute aussi l’exponentielle d’un nombre complexe ou d’une matrice. On veillera en revanche à ne pas centrer cette leçon sur les exponentielles et logarithmes de basea ≠e, dont les propriétés vont d’elles-mêmes lorsque les deux fonctions fondamentales ont été correctement définies. Tout est dans Rombaldi et DWT2. Développement : théorème de Cauchy-Lipschitz. 1) Problèmede Néper (Rombaldi) Tu cherches les solutions dérivables de l'équation fonctionnelle f(xy)=f(x)+f(y). T1 et Définition : de ln comme une primitive de 1/t et ses multiples sont solution de E sur R+*.
CSQ : résolution du problème de Néper. Propriétés : ln est{,ses limites aux bornes, sa concavité et comparaison aux puissances. Application : développement asymptotique de la série harmonique.
T2 et Définition de exp comme sa réciproque.
Propriétés : limites aux bornes, convexité, comparaison aux puissances, résolution de f(x+y)=f(x)f(y).
1/p 1/q Applications : si p et q >0 vérifient 1/p+1/q=1 alors pour tous u et v >0 tu as uv <u/p+v/q. Et aussi définition de la fonction Gamma d'Euler.
2) Problèmede Cauchy (Rombaldi et DW T2) Propriété : exp est dérivable égale à sa dérivée. Application : lemme de Gronwall et aussi DSE de exp et de ln.
T3 : Cauchy-Lipschitz sur Mn(C).
Propriété : exp(A+B)=exp(A)exp(B) dès que A et B commutent.
Est-il possible d'étendre la définition du logarithme népérien à C ?
T4 et définition : exp est bijective de C sur C/R-. Détermination principale du logarithme complexe.
Définition dep.
Théorème de relèvement version C1. Application : indice d'un chemin.
3) Problèmed'Euler (Rombaldi et moi) Je souhaite approcher exp(t) sans utiliser la série entière mais seulement e'=e et e(0)=1.
n T5 : exp(t)=lim(1+t/n)
Application : lemme d'Euler sur la fonction Gamma et extension de la méthode de résolution approchée d'une ED à toutes celles qui sont définies en y'.
Questions Le logarithme complexe est-il DSE sur C tout entier ?NON : seulement pour |z|<1. Extension du logarithme népérien aux matrices ?L'exponentielle est bijective entre les nilpotentes et les unipotentes. Cf Rombaldi AM p 281 et suivantes. Expression du logarithme complexe en fonction des parties réelles et imaginaires ?Cf DW T2. Relèvement C0 ?Oui, cf RDO, mais c'est (beaucoup) plus compliqué. Mode de convergence de la suite d'Euler ?C'est une CU sur tout compact. Preuve avec Dini.
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