Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

équations différentielles - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
Publié le : mercredi 10 avril 2013
Lecture(s) : 49
Source : CapMention
Nombre de pages : 1
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430 Exemplesd'équadifs issues des sciences expérimentales ou de l'économieFlash Jury : pour illustrer cette leçon, on pensera bien sûr aux oscillateurs linéaires amortis ou non-amortis qui interviennent en mécanique (masse suspendue à un ressort) ou en électricité (circuit RLC). On pourra aussi s’intéresser aux oscillateurs linéaires couplés : si on considère une suite constituée alternativement d’un ressort, d’une masse 1, d’un ressort, d’une masse 2, et d’un ressort, et qui est fixée en ses deux extrémités, alors les abscisses x1 , x2 des déplacements des deux masses par rapport à leurs positions d’équilibre vérifient les équations mx''1 = −Kx1 − K(x1 − x2 ) et mx''2 = −Kx2 − K(x2 − x1 ), où K désigne la constante commune des trois ressorts et m les valeurs égales des deux masses. La diagonalisation de la matrice de ce système permet d’étudier les mouvements des deux masses, et de les interpréter comme une superposition des modes propres du système (et tout ceci se généralise évidemment à un nombre supérieur de masses et ressorts). Enfin, on peut proposer un exercice simple à propos d’une équation aux dérivées partielles (comme l’équation de la chaleur, l’équation des cordes vibrantes) ou d’une équation autonome non linéaire. 1) taux à court et moyen termes Liret ch SD ex 1 travail de l'élève :résoudre une équation différentielle vectorielle à coefficients constants et étudier le comportement des solutions. place dans une séquence d'enseignement: exemple de cours simple. connexions avec d'autres exos :même démarche que pour l'oscillateur couplé. intérêt :la démarche générale de résolution est augmentée d'une étude des trajectoires. Utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique pour visualiser les trajectoires, d'un logiciel de calcul formel pour obtenir l'exponentielle matricielle directement sans calculer les valeurs propres et une base de vecteurs propres. 2) oscillateur couplé Liret ch SD ex 2 travail de l'élève: résoudre une équation différentielle à coefficients constants dans R4 ; passer de C à R ; revoir que la somme de deux fonctions périodiques ne l'est pas nécessairement. place dans une séquence d'enseignement: td intérêt: appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz à la main contrairement au précédent ; constater les limites du logiciel de calcul formel lorsque les valeurs propres sont complexes. 3) équation de Bessel Lehning T5 ch SE et Liret ch ED ex 4 travail de l'élève :résoudre une équation de la forme ax" + bx' + cx = d dans le cas où a n'est pas continue sur.Utiliser des séries entières pour trouver une solution. place dans une séquence d'enseignement: td connexions avec d'autres exos :néant intérêt :montrer une edl d'ordre 2 dont les espaces de solutions sont de dimensions différentes selon l'intervalle de résolution. Apparition du Wronskien. Chaîne pesante, vibration du tambour, vagues dans un estuaire. 4) illustration de Cauchy-Lipschitz non linéaire : seau percé de Hubbard travail de l'élève:utiliser la notion d'isocline et de champs de vitesses qui s'obtient facilement car l'équation est autonome ; à la main puis avec le logiciel de calcul formel. apprentissage visé :introduire la notion de champ de tangentes et le tracer à la main et utiliser un logiciel de calcul formel pour contrôler ; il n'y pas nécessairement unicité des solutions si la fonction n'est pas C1. place dans une séquence d'enseignement:exemples de cours. Intérêt: exemple d'équation autonome non linéaire, utilisation de Xcas pour voir les trajectoires. Obtenir une interprétation physique de la non unicité des solutions maximales. 5) problème à deux corps Hubbard ← DEVELOPPEMENT travail de l'élève :montrer que la loi de gravitation implique les lois de Kepler. Utiliser les propriétés des lois de force centrale pour abaisser la dimension du problème.Utiliser GéoGébra pour montrer les lignes de niveau de l'énergie totale. place dans une séquence d'enseignement: recherche intérêt :résoudre un système alors que l'exponentielle est difficile à calculer. Même si on y arrivait, la trajectoire serait difficilement interprétable. La première partie est générale à toutes les forces centrales. Les trajectoires sont bornées ou non en fonction du signe de l'énergie. Montrer comment une réduction du problème et l'utilisation de quantités invariantes permet de diminuer par étapes successives la dimension du problème. On résout un système en (r(t),q(t)) par une fonction r(q). 6) cordes vibrantes Lehning analyse fonctionnelle travail de l'élève: résoudre l'équation des cordes vibrantes dans un cas simplifié en utilisant les séries de Fourier ; comprendre qu'il faut des conditions sur les fonctions conditions initiales pour procéder ainsi ; utiliser GéoGébra pour voir les vibrations. place dans une séquence d'enseignement: recherche. Indication : considère (X,-a²X'') et (T'',T). intérêt: utiliser le théorème de dérivation terme à terme pour obtenir une CS et pas pour calculer.
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