Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Avec correction. Suites et séries de fonctions - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
Publié le : mercredi 10 avril 2013
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Source : CapMention
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246X et 212Iséries de Fourierflash Prérequis : séries trigonométriques ; les fonctions 2ppériodiques continues forment un pré hilbertien. Problèmes : 1) peut-on étendre les propriétés quadratiques des fonctions continues aux continues par morceaux ? 2) f étant donnée, Existe-t-il une série dont f soit la somme ?
Jury : dans le cas d’une fonction continue et C 1 par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet ; bien savoir ce que signifie C1M.
1) Coefficients de Fourier et approximation quadratique LFA XII 3.1 Définition et lemme de Lebesgue DW2 Résolution du problème 1 : Bessel et Parseval pour les CM interprétation en termes de structure : l'application qui, à une fonction CM associe ses coefficients de Fourier est une isométrie ; cette isométrie n'est pas surjective. Lehning T5 CSQ : si deux applications CM ont les mêmes coefficients de Fourier alors elles sont égales sauf peut-être en un nombre fini de points.DW2 2 Application : calcul de la somme des 1/n .
Propriétés des coefficients de la dérivée, rapidité de décroissance des coefficients et classe de la fonction.
Applications : résolution d'EDL avec second membre ← DEVELOPPEMENT 1 corde vibrante : classe minimale des conditions initiales : C3 et C4M, Hurwitz et isopérimètre. 2) Approximation en valeurs : résolution du problème 2
Attention : il existe des fonctions C° dont la série de Fourier diverge en un point.
Théorème 34 (soit disant pas de Dirichlet) uniforme pour les C°C1M Application : Weierstrass développement eulériens
Dirichlet simple pour les C1M ← DEVELOPPEMENT 2 AVEC 34 Corolaire : CU sur les segments inclus entre deux discontinuités. Il n'y a pas CU sur la période ouverte : Gibbs ← DEVELOPPEMENT 3
Fejer uniforme pour les C°
Cas des CM : si la série de Fourier de f CM converge en un point, alors c'est vers la valeur moyenne de f en ce point.
V : théorème de Valeur Q : théorème Quadratique
C1M T34V Dirichlet V Fejer V Bessel Q
Rombaldi AR Lehning DW2 et ZQ Lehning
C°M
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