Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Avec correction. Arithmétique - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
Publié le : mercredi 10 avril 2013
Lecture(s) : 37
Source : CapMention
Nombre de pages : 1
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305 Exercicesfaisant intervenir les nombres premiers JURY : les définitions intervenant dans les propriétés énoncées doivent être connues. Les propriétés sur les congruences doivent rapidement pouvoir être démontrées. Le théorème de Wilson ne constitue pas un test de primalité particulièrement efficace. Exercice 0 : sous groupe multiplicatif d'un corps commutatif fini [Leichtnam 1.20] Pré requis: Travail de l'élève: Place dans une séquence d'enseignement: Intérêt: Exercice 1 : propriétés de la fonction d'Euler [DEMAZURE 2.3.2] Pré requis: théorème chinois et DFP Travail de l'élève: réinvestissement Place dans une séquence d'enseignement: recherche Intérêt: L'indicateur d'Euler est un outil simple qui intervient par exemple en cryptographie. Cet exercice simple permet d'en établir quelques propriétés élémentaires. Il permet de réinvestir le théorème chinois et la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
Exercice 4 : nombres premiers de Mersenne [Demazure FERMAT ET PRIMALITE exo 2.24] Pré requis: fonction d'Euler, théorème de Lagrange Travail de l'élève: Indication: considérer l'ordre de a modulo n Place dans une séquence d'enseignement: recherche Intérêt: recherche des nombres premiers parmi les nombres de Mersenne.
Exercice 3 : les gaf d'ordre sans facteur carré sont cycliques – après coup, je crains que ce soit HS. [D-W T2 p 42 exo 5 et GRAS 4.9.1] Pré requis: notion de groupe cyclique, de groupe quotient, caractérisation de la puissance des générateurs d'un sous groupe. Travail de l'élève: mettre en œuvre l'idée "pour montrer qu'un groupe est cyclique, il suffit d'exhiber un générateur." Place dans une séquence d'enseignement: td Intérêt: établir un résultat théorique en utilisant la notion de groupe quotient.
Exercice 4 : résolution dex²=1 modulo n [Demazure 2.2]
Pré requis: théorème chinois Travail de l'élève: dénombrer les solutions d'une équation dans l'anneauℤ /n. Place dans une séquence d'enseignement: recherche Intérêt: traduire une équation dansℤ /nen termes de PGCD de deux polynômes.
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