Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Géométrie : oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
Publié le : mercredi 10 avril 2013
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Source : CapMention
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145 utilisationdes transformations en géométrie TOUT EST DANS D-J M, Carouf et Goblot et Ladegaillerie. 1) Propriétés ponctuelles Outil : propriétés et composées d'homothéties
Applications: des alignements de points sur les côtés d'un triangle : Ménélaüs th 44,45 sur les côtés d'un trapèze complet configuration des trapèzes : th 46. sur les diagonales d'un quadrilatère complet : th de Newton : th 68
Outil : écriture des similitudes comme composée d'une isométrie avec point invariant et d'une homothétie : th fondamental 251 et à la suite, nature des similitudes planes.
Applications cas de similitudes des triangles th 262 Thalès Relations métriques dans le triangle rectangle (17.2) et Pythagore.
Flash
2) Constructions géométriques Outil : l'expression analytique d'une affinité dans un repère permet de montrer le th 326/354 :une ellipse est l'image de son cercle principal par une affinité orthogonale et l'image d'un cercle par une affinité orthogonale est une ellipse.
Applications construction par points et tangentes section 20.4.2.B. Invariance d'une ellipse par symétrie gauche section 22.3.3. Le projeté orthogonal d'un cercle sur un plan est un cercle, un segment ou une ellipse.
3) Etude de l'inversion Ce sont des transformations sur le plan épointé.
Outils : images des cercles-droites th 274, 275, 276, connaissance de la puissance d'un point par rapport à un cercle, de l'axe radical de deux cercles, cas de similitudes des triangles.
Application th des 7 cercles <- DEVELOPPEMENT
4) Groupes de transformations Outils : certaines transformations peuvent être structurées en groupe.
Applications Étude des parties du plan pour lesquelles l'intersection du groupe des isométries et des translations est isomorphe à Z : Groupes des frises CF Goblot. Étude du groupe du birapport : avec un sous groupe du groupe des homographies CF Ladegaillerie.
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