Oral de Mathématiques de niveau Agrégation - algèbre linéaire

Algèbre linéaire- oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
Publié le : mercredi 10 avril 2013
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Source : CapMention
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144 rangen algèbre linéaire Tout est dans Merlin et Gourdon et DW T2 et LFA T1. Attention : tout se passe en dimension finie ; les contre exemples en dimension infinie se font avec la dérivation dans l'espace des polynômes. DEVELOPPEMENT : calcul du rang avec les déterminants extraits puis rang de com(A) puis caractérisation par les matrices Jr puis tout hyperplan de Mn(K) contient au moins une matrice inversible. Soit u : E → F un morphisme entre deux espaces vectoriels de dimensions finies : ex 2 du chapitre MATRICES de DWT1. Je souhaite répondre à trois questions : dimension et système de générateurs du noyau ? De l'image ? Un vecteur b de F étant donné, puis-je trouver des antécédents par u ? L'image de u est générée par (u(e)) où e est une base de E et les u(e) sont les vecteurs colonnes de la matrice de u dans les bases (e) et (f) de E et F. Question des dimensions. Cela conduit à poser les définitions rg(u), rg(x), rg(M). Théorème de cohérence : si u (E → F)et u'(E' → F') sont deux endomorphismes de même matrice M, alors rg(u)=rg(u') dans LFA T1 problème du changement de base. Exercices : rang de la matrice (cos(i-j)) chapitre méthodes de calcul matriciel Merlin p 107. décomposition d'une matrice de rang 1 en produit colonne ligne Merlin p 111. soit r<n ; l'ensemble des matrices de rang r n'est ni ouvert ni fermé Merlin ch 11 ex 5. Application au cas des projecteurs et exercice 10 chapitre méthodes générales de Merlin.
Propriétés : rang et -jectivité dans LFA T1. Application : existence des polynômes de Lagrange. Théorème du rang : dim(ker(u))+ rg(u)=dim(E). Attention : cela ne signifie pas que ker(u)ÅIm(u) = E ; CF ex 3 p 117 de Gourdon. 2 Une CNS pour cela est Im(u)=im(u ). Application importante : injective <=> surjective <=> bijective endimension finie. Exercices : rang de (i.j) Merlin 13.2. abs(rg(u)-rg(v))≤ rg(u+v)≤rg(u)+rg(v). rg(v)+rg(u)-n≤rg(vou)≤inf(rg(u),rg(v)). Remarque : les inégalités sur rg(u+v) et rg(vou) sont assez grossières. Quelle est leur utilité ?
Avec l'orthogonalité en dualité : cf Gourdon. Rang de la transposée.
Méthodes de calcul du rang CSQ du théorème de cohérence : les opérations élémentaires définies par les matrices de permutation, d'affinité et de transvection ne changent pas le rang : méthode du pivot Gauss. Exemple pratique sur la matrice d'introduction. Théorème : rg(M)=r ssi il existe un déterminant extrait d'ordre r non nul et dont les bordants le sont. Exemple : matrice avec un gros triangle et les dernières lignes de 0. Exercices : rang de la comatrice dans Gourdon ex 11 p 146. l'ensemble des matrices de rang ≤r, r donné est fermé Gourdon ex 4 p 188 ou BMP.
Caractérisation par l'équivalence avec matrices Jr. C'est une conséquence du théorème de cohérence. Exercices : tout hyperplan de Mn(K) contient au moins une matrice inversible Gourdon pb 8 p 154. Glnest dense dans Mn.
Antécédents et systèmes de générateurs du noyau : résolution des systèmes linéaires. Pour trouver les antécédents d'un b donné dans l'image, tu résous un système linéaire. Pour trouver des générateurs du noyau, tu résous un système linéaire homogène. Systèmes homogènes : ils sont toujours compatibles. Théorème de structure. Ce paragraphe est-il vraiment utile et Calcul des solutions, équations principales. pas trop long ? Systèmes avec second membre. itou.
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