Oral de Mathématiques de niveau Agrégation - cercles et droites

Géométrie : oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
Publié le : mercredi 10 avril 2013
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Source : CapMention
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137 Cercleset droitesFlash 137 : on pourrait évoquer lareprésentation complexe,le cercle d’Euler, etc. Le théorème de Morleya fourni le thème d’un beau développement. Tout est dans D-J M et Tisseron
0) Prérequis et notations Définitions équivalentes par distance, produit scalaire nul, équation cartésienne normale, équations paramétriques. Applications : cercle d'Euler. Hypocycloïde comme enveloppe des droites joignant deux points du cercle le parcourant l'un à vitesse 1 dans un sens, l'autre à vitesse 2 dans l'autre sens. (Tisseron p 327) Contacts entre deux cercles, et entre cercle et droite.
1) Puissance d'un point par rapport à un cercle – axe radical Théorème et définition de la puissance : P(M) = OM² – R²
Propriété : expression de la puissance avec la fq de l'équation normale.
Applications Caractérisation des quadrilatères inscriptibles CRC de ab et de Racine(ab) CRC d'un cercle passant par deux points donnés et tangent à une droite donnée. Hexagramme de Pascal.
Théorème et définition : axe radical.
2) Cocyclicité Théorème de l'angle inscrit.
Applications Le lieux des points M tel que l'angle (MA,MB) = a (pi) est un cercle passant pas A et B et admettant pour tangente en A la droite T qui fait un angle de mesure a(pi) avec (AB) Critère de cocyclicité par les angles Critère de cocyclicité par les affixes Quadrilatères conVexes inscriptibles. Droite de Simson et retour sur l'hypocycloïde à trois rebroussements (Tisseron p 328).
3) Inversion Définition de l'inversion
Propriété : elle est involutive – mise en évidence de triangles indirectement semblables.
Théorème : images des cercles -droites.
Application : th des 7 cercles <- DEVELOPPEMENT
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