Oral de Mathématiques de niveau Agrégation - déterminants, exemples et applicatiopns

Algèbre linéaire- oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
Publié le : mercredi 10 avril 2013
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Source : CapMention
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déterminants ; exemples et applications
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Déterminant d'une famille de vecteurs : généralitésLFA T1 X.1 prérequis : espaces vectoriels, dimension, base, applications p-linéaires du produit de p espaces vectoriels vers un autre espace vectoriel ; cas des formes p-linéaires alternées sur un espace E de dimension n : caractérisation à l'aide des transpositions. p p Théorème et définition : Si p>n alors Fa (E) est réduit à {0}. Si p=n alors Fa(E) est de dimension 1. En particulier, pour toute base (e) de E, il existe une unique forme « det », n linéaire alternée sur E telle quedet(e)=1. Le déterminant d'une famille x de vecteurs de E est det(x). Expression en fonction des coordonnées. Complexité en n!(n-1). Exemples d'expression en fonction des coordonnées en dimensions 2 et 3.
Propriété : changement de base, CNS pour qu'une famille soit liée. Exemples : orientation, condition d'alignement de trois points du plan donnés par leurs coordonnées barycentriques, résultant de deux polynômes, EDL : wronskien
Déterminant d'un endomorphisme Théorème et Définition : Il existe un unique scalaire, noté det(u), tel que pour toute famille x de n vecteurs de E, det(u(x))=det(u)det(x). Propriété : det (Id), det(vu)=det(uv)=det(u)det(v), u inversible ssi det(u) non nul. Exemple : polynôme caractéristique
Déterminant d'une matrice Définition lien avec les déterminant d'endomorphisme et de famille de vecteurs : le déterminant d'un endomorphisme égale le déterminant de sa matrice dans toute base de E ; le déterminant d'une matrice égale le déterminant de ses vecteurs colonnes dans la base canonique. Propriété : déterminant de la transposée. Exemples : le rang d'une matrice est l'ordre maximum d'un déterminant extrait non nul de cette matrice –prends comme prérequis la définition de bordant et de matrice extraite.
Calcul de déterminants Calcul de déterminants par blocs 3 Méthode de Gauss : tu triangules la matrice : complexité en O(n ) Propriétés issues de la multilinéarité. Méthode de développement : tu te ramènes à une somme de déterminants de tailles inférieures. Complexité en O(n!) Applications : calcul de l'inverse d'une matrice de GL(E). Exemples : Vandermonde, Cauchy. Application : base des polynômes de degrés < n+1.
Utilisation pour la résolution des systèmes Formules de Cramer Théorème de Rouché-Fontené Exemple : résolution d'un système 4*3
LFA T1 VI LFA T4 I
LFA T1 X.4.4
LFA T1 X.2
Rombaldi AR LFA T1 X.5
Gourd. p138
Utilisations en géométrie et en analyse Distance de deux sous espaces et déterminants de GramGourd. Volume et produit mixte, Théorème de MüntzGourd. Majoration des dérivéesRombaldi AR DVPT → (Vandermonde + Base de polynômes + Majoration des dérivées) ou (Cauchy + Müntz)
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