Trinômes du second degré (problèmes)

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2 problèmes du second degré niveau 1ère S ou ES

Publié le : lundi 15 août 2011
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Trinômes : Problèmes Problème 1 : 2 2 x+ 5x - 3  f(x)= 2 x +3x - 4 1°) Déterminer l’ensemble de définition de f. 2°) Donner le signe du numérateur de f(x) 3°) Donner le signe du dénominateur de f(x) 4°) A l’aide d’un tableau de signes et de ce qui précède, déterminer l’ensemble des réels x pour lesquels la courbe représentative de f est au dessus de l’axe des abscisses. 5°) Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre la courbe représentative de f et les axes de coordonnées. Problème 2 : 2 2 Soit les fonctions f(x)=2x-x+2 et g(x)=x+3x-1 On pose h(x)=f(x)-g(x) Etudier le signe de h(x) puis en déduire la position relative des courbes représentatives Cfet Cgdes fonctions f et g .
2 2x +5x-3 PROBLEME 1 : f(x)=2x +3x-4 2 2 1°) f est définie pour x+3x-4+3x-4=0 pour déterminer les0. Résolvons l’équation x Valeurs Interdites : le discriminant vautΔ= 9-4×(-4)= 9+16=25>0. L’équation admet 2 -3- 25-3+ 25 racines x1-4 et x= =2= =1. -4 et 1 sont les Valeurs Interdites donc le domaine 2 2 de définition est D=ℝ\{-4;1}. 2 2°) Le signe du numérateur est celui du trinôme : 2x +5x-3.Δ=25- 4×2×(-3)=49. Les racines -5- 49-5+ 491 sont :x1x= =-32= =. 4 42  Lesigne du numérateur est 2 3°) Le signe du numérateur est celui du trinôme x+3x-4: .Δ=9- 4×1×(-4)=25. Les racines -3- 25-3+ 25 sont :x1= =-4x2= =1. 2 2  Lesigne du numérateur est 4°) La courbe représentative de f est au dessus de l’axe des abscisses lorsque f(x)³0. Tableau de signes : La courbe représentative de f est au dessus de l’axe des abscisses pour : 1  x]-¥;-4[∪[-3; ]∪]1;+¥[ 2 Remarque: Pour x=-3 ou x=1/2 la courbe coupe l’axe des abscisses. 5°) Pour x=-3 ou x=1/2 la courbe coupe l’axe des abscisses, d’après 4°). Donc les coordonnées des points d’intersection entre Cfet l’axe des abscisses sont : (-3;0) et (1/2;0). La courbe coupe l’axe des ordonnées au point d’abscisse 0. Donc (0;f(0))=(0;3/4) sont les coordonnées du point d’intersection entre Cfet l’axe (Oy).
PROBLEME 2:
Rappel: h(x)>0f(x)-g(x)>0f(x)>g(x)Cfest au dessus de Cg.
 h(x)<0f(x)-g(x)<0f(x)<g(x)Cfest au dessous de Cg
 h(x)=0f(x)-g(x)=0f(x)=g(x)Cfet Cgse coupent.
2 22 h(x)= 2x-x+2 -(x +3x-1)=x -4x+3 2 Δ- 4= (-4)×1×3=4 . Il y a deux racines : x1=1 etx2=3, d’où le tableau : Ce qui signifie : Cfest au dessus (strictement) de Cgpour x]-¥;1[∪]3;+¥[. Cfest au dessous (strictement) de Cgpour x]1;3[. Cfet Cgse coupent pour x= 1 ou x=3.
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