Sujet de bac Blanc de Mathématiques de niveau Terminale

Tof

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Avec correction. Mars 2012
Bac Blanc en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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Extrait

.

.

.

.

à

. On suppose que

.

Par linéarité de l'intégrale,

.

. L'intégrale sur

D'après la question 1.a., 2.Montrer que pour tout entier natureln,

 BAC BLANC Terminale S3 29 mars 2012 de Mathématiques Durée : 4 heures Exercice 1 Liban–Juin 2010 (5 points) Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants :  . Pour tous réelsxety, . 1.Démontrer que pour tout réelx, .

.

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est positive ou nulle.

,

. Donc

Pour tout réel

2.Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n,

 Soit

, un entier, on démontre que la propriété se transmet de

est vraie.

, on démontre par récurrence la propriété

donc

, on remarque que

b.Calculeru 1 . En déduire

a pour primitive

Pour tout réel



.

alors .  La propriété est vraie pour et se transmet, pour tout , de pour tout : pour tout entier naturel . Partie B On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturelnpar : 1.a.Montrer que .

l'intervalle

3.a.Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,

à

, donc la propriété est vraie

.

. On pose

, et pour tout réel

,

d'une fonction positive est positive donc

Pour tout entier naturel

.

où

et

.

.

donc

Posons

.

quotient de fonctions dérivables est dérivable et :

donc

Sur l'intervalle

On a vu que sur

sur l’intervalle [0; 1].

près de l’intégrale :

1.a.Étudier les variations de la fonctionf définie par

Le but de cet exercice est de déterminer une valeur approchée à

Pour tout entier naturel

,

b.En déduire que pour tout entier naturelnnon nul,

, d'après la question 2.,

. Or

4.Déterminer la limite de la suite (u n ).

,

.

de

.

. Tous les termes sont positifs sur

à

et

Toutes les fonctions étant continues, on peut intégrer par parties :

.

donc

Selon le théorème des gendarmes, la suite

donc

Pour tout entier naturel

).

2.SoitJetKles intégrales définies par

Pour tout entier naturel

a.Au moyen d’une intégration par parties, prouver que

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sauf

,

tend vers

est décroissante sur

,

: la fonction

b.Montrer que, pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 1], on a

.

Exercice 2 Amérique du sud–Nov 2009 (5 points)

.

, donc

(car

.

converge aussi vers zéro.

.

ainsi que

or, d'après la question 3.,

Comme

b.Utiliser un encadrement de

obtenu précédemment pour démontrer que

d'où en intégrant sur [0 ; 1],

c.Démontrer queJ+K= 4I.

.

.

d.Déduire de tout ce qui précède un encadrement deI, puis donner une valeur approchée à

près deI.

 et

, on en déduit que

, il en résulte que

à près. Exercice 3La Réunion–Juin 2009 (5 points) Obligatoire Obligatoire Pour les candidats n’ayant passuivi l’enseignement de spécialité Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué +1 si la réponse est exacte,–0,5 pour une réponse inexacte et 0 en l’absence de réponse. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct . 1.Soit (E) l’ensemble des pointsMd’affixezun nombre réel.vérifiant : , étant a.(E) est une droite passant par le point d’affixe 2–2i. b.(E) est le cercle de centre d’affixe –1 + 2iet de rayon 1. c.(E) est le cercle de centre d’affixe 1–2iet de rayon 1. d.(E) est le cercle de centred’affixe 1–2iet de rayon .  soit . Conclusion : les points d'affixe sont à la distance 1 du point d'affixe . Comme , la réponse estc. 2.Soitfl’application du plan qui, à tout pointMd’affixezassocie le pointM’ d’affixez’tel que . a.fest une homothétie. b.Le point d’affixe –1–2iest un antécédent du point d’affixei. Page 3 sur 9

Un point

c.fest la rotation de centre le point d’affixe 1+iet d’angle

d.fest la rotation de centre le point d’affixe –1–iet d’angle

d'affixe

est invariant par

Il y a donc un point invariant par

.

si et seulement si :

entraine par différence :

est donc la rotation de centre le point d'afixe

et d'angle

.

.

.

Réponsed.

3.Soit (F) l’ensemble des pointsMd’affixezvérifiant . Soient les pointsA,BetCd’ affixes respectives 1–i,–1 + 2iet–1–2i. a.Cest un point de (F). b.(F) est la médiatrice du segment [AB]. c.(F) est la médiatrice du segment [AC]. d.(F) est le cercle de diamètre [AB].  peut s'écrire qui montre que est équidistant des deux points A et C ; donc appartient à la médiatrice de [AC]. Réponsec. 4.On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation. Cette équation admet : a.Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. b.Une solution réelle. c.Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. d.Une solution qui a pour partie imaginaire 2. En posant , l'équation proposée s'écrit : , soit en identifiant parties réelles et parties imaginaires :

La partie imaginaire de(s) la solution(s) est égale à 1. La première équation s'écrit :

Vérification : avec Avec

5.Un argument dez=  3

( 3 )

a

: ce nombre est solution. : ce nombre est solution. Réponsea.

b

est égal à

c

d

.

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.

Exercice 3Pondichéry–Avril 2008 (5 points) Spécialité Spécialité Pour les candidats ayantsuivi l’enseignement de spécialité Pa rtie A On suppose connu le résultat suivant : Une applicationfdu plan muni d’un repère orthonormal direct dans luimême est une similitude directe si et seulement sifadmet une écriture complexe de la forme , où et . Démonstration de cours: on se place dans le plan complexe. Démontrer que siA,B,A’etB’sont quatre points tels queAest distinct deBetA’est distinct deB’, alors il existe une unique similitude directe transformantAenA’etBenB’. On a les affixesa,a’,betb’. Si on a une similitude directe, celleci s’écrit; il suffit donc de trouver et en fonction dea,a’,betb’.

; valable si

, soit A et B distincts.

Partie B Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal directon considère les pointsA,B,C,D d’affixes respectives  , , et . 1.a.Donner le module et un argument de chacun des quatre nombres complexesz A ,z B ,z C etz D .

;

;

.

;

b.Construire à la règle et au compas les pointsA,B,CetD(on prendra pour unité graphique 2 cm). Les points sont sur le cercle de centreO, de rayon 2 (cercle de diamètre [PQ]) ;Best un sommet de

triangle équilatéral,Dest diamétralement opposé àB,A’ est sur la bissectrice de

l’arc

;Cest diamétralement opposé àA(traits pointillés noirs sur la figure).

et A est tel que

c.Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotient

En déduire la nature du quadrilatèreABCD. , , le milieu estO.

.

donc (OA) et (OB) sont orthogonales de même que (AC) et (BD).

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ABCDest un carré : diagonales se coupant à angle droit en leur milieu et de même longueur.

2.On considère la similitude directegdont l’écriture complexe est

a.Déterminer les éléments caractéristiques deg.

d’angle

.

.

:gest la rotation de centreB,

b.Construire à la règle et au compas les images respectivesE,FetJpargdes pointsA,CetO.

Jest déjà construit puisqu’il s’agit deP. Par ailleurs il s’agit de triangles équilatéraux: on construit les

deux cercles de rayonAB, de centreAet de centreB; une des deux intersections estE; même chose avec

les cercles de rayonBC, de centresBetC(en rouge et vert sur la figure).

c.Que constateton concernant ces pointsE,FetJ? Le démontrer.

E,JetF; et sont alignés : donc :Jest le milieu de [EF]. On aurait pu utiliser le fait queOest le milieu deAetC, soit en faisant la rotation on garde l’alignement et le milieu.

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