Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

Thibault Pautrel

Description

équations différentielles et fonctions exponetielles
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

Mathématiques

Fonctions exponentielles

I) Fonctionsexponentielles de type expkx :

Soit ƒ une fonction dérivable sur ℝ telle que f0=1 .

Terminale S

Théorèmes: T 1 : Il existe un réel k tel que pour tout réel x , fx=expk x si et seulement si il existe un réel k tel que f '=k f . T 2 existe un réel: Il k tel que pour tout réel x , fx=expk x si et seulement si pour tout réels a et b , fab=fa×fb .

Démonstration:

y=1 T 1 : déjà démontrée au chapitre précédent (prendre 0 )

T 2 : La démonstration d'une équivalence se structure en deux étapes: l'implication A => B puis la réciproque B => A.

➢ Montrons que si ∃k∈ℝ / ∀x∈ℝ, fx=expkx , alors ∀a , b∈ℝ, fab=fa×fb : ➢ On suppose qu'il existe un réelktel que, pour tout réelx, f 'x=k fx .

Soit a un réel fixé et posons  la fonction définie sur ℝ par x=fax−fafx . Comme ƒ est dérivable sur ℝ ,  l'est également et 'x=f 'ax−faf 'x <=> 'x=k fax−k fafx En factorisant par k , on obtient 'x=kx .

Par ailleurs, 0=fa−faf0=0 car f0=1 .

=> Il vient que la fonction  est solution du problème différentiel y '=ky avec y0=0 . On en déduit que  est nulle sur ℝ (d'après le chapitre précédent) et donc que fax=fafx . Quand x prend la valeur b , on a bien fab=fa×fb .

➢ Montrons que si ∀a , b∈ℝ, fab=fa×fb , alors ∃k∈ℝ / ∀x∈ℝ, fx=expkx :

On suppose désormais que pour tous réelsaetx, on a: fax=fafx . Dérivons les deux membres: f 'ax=faf 'x .

Afin d'arriver à l'écriture différentielle f 'a=k fa , on va prendre le cas particulier où x=0 . Il vient que f 'a=faf '0 .

Il suffit de poser k=f '0 pour conclure que f 'a=k fa et donc que f '=kf .

Remarque: Cela résume que si ƒ est une fonction qui transforme les sommes en produits, alors ƒ est une fonction exponentielle et réciproquement.

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II) Lafonction exponentielle:

1. Rappels:

➢ Il existe une unique fonction ƒ dérivable sur ℝ telle que f=f ' et prenant la valeur 1 en 0. Il s'agit de la fonction exponentielle. ➢ Pour tous réels x et y , expxy=expx×expy et expx0 .

Exercices 8 et 9 du livre p 30.

2. Propriétés: ➢ exp0=1 ➢ ∀x∈ℝ,exp'x=expx et comme expx0 , exp'x0 donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ . 1 expx ➢ ∀x∈ℝ,exp−x= et expx−y= expx expy

Démonstration: ● Il a été établi que exp−x×expx=1 <=> exp−x×expx=exp0 . Il suffit de remarquer que exp0=expx−x et que expx−x=expx×exp−x . 1 Il vient que expx×exp−x=1⇔exp−x= . expx

● Pour tous réels x et y , expx−y=exp[x−y] . On applique la propriété caractéristique de 1 l'exponentielle: expx−y=expx×exp−y . Or exp−y= . Il vient que expy 1 expx expx−y=expx× ⇔expx−y= . expyexpy

n ➢ Pour tout n∈ ℤ , expnx=[expx]

Démonstration: Raisonnement par récurrence n Dans tout ce qui suit, n∈ℕ . Soit ℘n:expnx=[expx] . ● Initialisation: 0 On sait que exp0=1 et vu que [expx] =1 , on a bien ℘0 vérifiée.

● Hérédité: On suppose ℘n vraie. Démontrons que la propriété se conserve au rang n1 , c'est-à-dire que n n1 exp[n1x] =[expx] . On a exp[n1x]=expnxx . Or l'exponentielle transforme les sommes en produits, d'où: exp[n1x]=expn xexpx .

n c en remplaçant: D'après l'hypothèse de récurrence, expnx=[expx] , don n n1 exp[n1x]=[expx]expx <=> exp[n1x]=[expx] .

n Donc ℘n1 est vraie donc par récurrence, ∀n∈ℕ,expnx=[expx] .

Pour généraliser à n∈ ℤ , on va supposer que n est un relatif strictement négatif. On peut alors poser m=−n pour m∈ℕ . −m n Ainsi, expnx=exp−mx⇔expnx=[expx] =[expx] .

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n 1 exp1≈1  ➢ n

Preuve:(voir activité d'introduction) nn 1 1 2 1 n1 n 1  ≈  ≈   f1 , f1 ² ,..., f ≈1  . Or f =f1=exp 1 , donc e≈1  . n n n nn n n n n 1 lim1= e En réalité,car plus n est grand, plus h est petit et plus l'approximation est fiable. n n∞ n ➢ pour ∈ ℤ expn=e n

Démonstration: n  = On a exp 1e . Or, ∀n∈ℤ,expnx=[expx] . n n Si x=1 , =[exp1] <=> exp expn×1 n=e .

x ➢ Par convention, ∀x∈ℝ,expx=e x −x 1 xy xy e nnx x x−y on peut écrire e= , , ➢ Ainsi, avec cette notation x e . e=e×e , e= y e= e e

!!Attention !! 1x =e l'image de 1 par la fonction exponentielle tout comme e est l'image d x pa : c'este rcette e fonction; tandis que e est un nombre (comme  ).

s Exercices p31 n°11 – 12 – 13 – 14 – 32

3. Étudede la fonction exponentielle: La fonction exponentielle est définie sur ℝ .

a) Dérivée et sens de variation:

Théorème: La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et est égale à sa fonction dérivée. Autrement dit, exp'=exp

b) Limites en ∞ et −∞ : Théorème: x x lime=∞ lime=0 ● ● x ∞ x −∞ Démonstration: x ● On démontre que pour tout réel x , ex1 (en étudiant les variations et le signe de x gx=e−x−1 pour tout réel x ). x limx1=∞ lime=∞ On applique dès lors le théorème de comparaison:, on en déduit que. x ∞ x ∞ x x 1 lim−x=∞ lime=∞ e= ● Pour tout nombre réel x Or, et., . −x x −∞ e x ∞ −xx lime=∞lime=0 On applique le théorème sur la limite d'une fonction composéeet . x −∞x −∞

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c)Tableau de variations:

Comme exp'x=expx et que expx0 , on en déduit que exp'x0 sur ℝ et donc que la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ . D'où: x −∞ 1 0 ∞ exp'x expx ∞  e  1 0 Remarques: ➢ L'axe des abscisses est asymptote à C f quand x −∞ . ➢ La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation y=x1 et C f est toujours au dessus de cette x tangente car on a prouvé que. ex1 ➢ La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation y=e x . Elle passe par l'origine du repère.

d)Approximation affine au voisinage de 0:

Théorème: h e−1 lim=1 x <=> h e≈x1 h0 Démonstration: La fonction exponentielle est dérivable en 0 et exp'0=exp0=1 . h exph−exp 0 e−1 lim= 1 lim=1 On peut donc écrire h ., soit h h0 h0 On peut aussi écrire ce résultat de la manière suivante: x lim x=0 e−1 x e=x1x x avec pour  x= −1 . x0 x Il vient que la fonction affine f définie sur ℝ par fx=x1 est l'approximation affine au voisinage de 0 de la fonction exponentielle.

e)Autres limites:

Théorème: x e =∞ lim x ● x limx e=0 ● x ∞ x −∞ Démonstration:après le chapitre sur la fonction logarithme népérien

4. Résolutionsd'équations et d'inéquations:

La fonction exponentielle est une bijection strictement croissante de ℝ sur ℝ * + , d'où: Propriétés: x y x y ; ∀x , y∈ℝ, e=e⇔x=y ee⇔xy 2 x3x . Exemple: Résoudree=e

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5. Dérivéeset primitives:

Théorème: Soituune fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ . uxux La fonction composée fx=e est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction f 'x=u 'x×e . u u Autrement dit, e'=eu ' . Démonstration: ux Soit ƒ la fonction définie sur I par fx=e <=> fx=exp°ux . D'après le théorème de dérivation des fonctions composées, on a ∀x∈I , ux f 'x=exp°ux=exp'ux×u 'x=expux×u 'x=u 'xe .

Exemples: Déterminer les ensembles de dérivation et les dérivées des fonctions suivantes: 1 3x−1 a. fx=e .; b. x fx=e ........................................................................................................................................................................................................

Théorème: Soituune fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ . u u Une primitive sur I de la fonction u 'e est e .

2 xx Exemple: Déterminer une primitive sur ℝ .de la fonction fx=2x1e ........................................................................................................................................................................................................

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