Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première

Kdouh

Description

Avec correction. Dérivations équation de langente nombre dérivé
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2013) pour Première ES

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Extrait

DS N°MATHEMATIQUES FONCTIONS1°ES 2012- 2013

Exercice1opnist:4

Voici la courbe représentative Cf d’une fonction f définie sur R . y 5 4 3 2 1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6 7 8 9 x -1 -2 -3 -4

 D’aprèsle graphique er la valeur de f' ( %4 ! en justifiant ; puis f'%5 ,f'%2 ; f' 2 et f' 4 (sans justifier). 1. Donn ( !( ! ( !( ! Cf 2. Déterminer l’équation de la tangente àau point d’abscisse 4 . 1 3. On sait que f' ( 7 ! 1 % ; tracer T , tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 7. 3 4. Donner le tableau de signe de f'x , puis résoudre graphiquement : f'x20 . ( !( !

Exercice n°2: 7points 3 5 2 3  Soit fla fonction définie sur [%4; 2] f ( x ! 1x#x%2x% de courbe représentative Cf  par: 2 2 1°/ a) Calculer f'x . Démontrer que f' ( x ! 1 ( x#2 ! ( 3x%1 ! . ( !  b)Etudier le signe de f'x[ sur l’intervalle % dele tableau de variationspuis dresser 4; 2] ,f x . ( !( !

2°/ Donner l’équation des tangentes aux points d’abscisses  % 1 ; 0 et 1. T TT  Onnotera les tangentes %1 ; 0 et 1

3°/ a ) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant ( pensez que certaines valeurs ont déjà été  calculé!!) x %4 %3, 5 %3 %2, 5 %2 %1,5 %1 %0, 5 0 1 0, 51,5 2 f ( x !  b/Construire la représentation graphique de f et les tangentesdans le repère ( O;i,j ! dans l’intervalle [%4; 2] .uni ique : 1unités représente 2cm  tégraph surl’axe des abscisses 1 unité  représente1cm sur l’axe des ordonnées

æ 1 4°/ a) Démontrer que f ( x ! 1 ( x%1 ! ( x#3 ! x# . ç è 2 ø  b) Réaliser le tableau de signes de f ( x .En déduire les solutions de l’inéquation : f ( x ! 00 . !

Exercicen°3points4: 2 x%3x#6 g La fonctionest une fonctiondéfini R% { 1 } par e sur g ( x ! 1 x%1 ( x#1 ! ( x%3 ! g R% { 1 } g' ( x ! 1 1°/ Calculer la dérivée g' montrer que pour toutde etxon ade , 2 . ( x%1 ! 2°/ Résoudre l’équation g'x10 puis le tableau de signe de g'x . ( !( ! g  Endéduire le tableau de variation de la fonction 3°/ Déterminer une équation de la tangente T 2 à Cg 2.au point d’abscisse ( ! erminer une équation de la tange ( T ! point d’abscisse  Détnte 0 à Cg au 0. latives C ( ! 4°/ Etudier les positions rede g par rapport à T 0 . 5°/ Tracer avec soin la courbe Cg et les tangentessur l’intervalle ]1;#¥[ Exercice 45 points

1°/ Etudier le signe de la dérivée et donner le tableau de variations 25 2  a) f(x) 1 x % 6x # 1 sur [ 0 ; 5 ] . b) g(x) 1 x # sur [ 1 ; 10 ] . x 25 % 3x # 5  c) h(x) 1 x % sur [ 1 ; 10 ] . d) i(x) 1 sur [ 0 ; 10 ] . x 4x # 2 3x%4  2°/ J(x)1(2x%8)x sur [ 1 ;5 ] . Prouverque J'(x)1 . x

Exercice 1

f' ( %4 ! Cf 1. estle coefficient directeur de tangente àau point d’abscisse %4 , la tangente est parallèle f' ( %4 ! 10  àl’axe des abscisses , donc. 4,5%2,5 24 3,5%0,5 3 %1,5%0 1%,5 3 f' ( %5 ! 11 1f' ( %2 ! 1 %1 16  ;; f' ( 4 ! 1 %1 1 %3,5%( 5%) 1,5 3%2,5%( 2%) 0,%5 % 4 22 4 1 23 2. ; y1f' ( a ! ( x%a ! #f ( a ! y1 %6 ( x#2 ! #0,5Ûy1 %6x%12# Ûy16%x% 2 2 23 Cf y1 %6x% point d’abscisseà auest l’équation de la tangente %2 . 2 3. Voir figure ci-dessous 4. x %¥ %4%12 #¥ # # f' ( x ! 000 3,5 0,5 %1,5 f ( x ! S1]% ¥;%4]È[%2]1 ;

20 5 y1 ( 4 / 3 ! x#5#2,5Ûy14 / 3x# #Ûy1 ( 4 / 3 ! x#55 / 6 ( !( ! 3 2 3 3 y1 %3 / 4 ( x%4 ! 1%,5Ûy1 ( %3 / 4 ! x# %yÛ 1 ( 3%/ 4 ! x21/%16 ( ! 16 2 y1 % ( 1/ 3 ! ( x%7 ! %2,5Ûy1 ( %1/ 3 ! x7#5 // 3%2yÛ 1 ( 1/%3 ! x1/ 6 y 5 4 3 2 1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6 7 8 9 x -1 -2 -3 -4

Exercice n°2points: 7 5 3 3 2  Soit fla fonction définie sur [% par : 4; 2] f ( x ! 1x#x%2x% de courbe représentative Cf 2 2 1°/ a) Calculer f'x . Démontrer que f' ( x ! 1 ( x#2 ! ( 3x%1 ! . ( ! 5 2 2 2 2 f ( x ! 13x# ´2x%213x#5x%2 et ( x#2 ! ( 3x%1 ! 13x%x#6x%213x#5x2% 1f' ( x ! 2

 b)Etudier le signe de f'x sur l’intervalle [% le tableau de variationsde 4; 2] , puis dresser f x . ( !( !

x %4%2 1/ 3 2 # # f' ( x ! 00 3,512,5 f ( x ! %17, 5 % 1,852

2°/ Donner l’équation des tangentes aux points d’abscisses  % 1 ; 0 et 1. T T  Onnotera les tangentes %1 ; 0 et T 1 3 5 3 T : f ( %1 ! 1 ( %1 ! # ´1#2% 11%2#2, 5#1,%5 21 5 21 3; ' %1 f% %1% 14 ( ! 2 2 y1f' ( a ! ( x%a ! #f ( a ! y1 %4 ( x#1 ! #2Ûy1 %4x%2  ; 3 3 3 T 0 : f ( 0 ! 1 %  et f' 01 %2 ; y1 %2 ( x%0 ! % Ûy12%x ( ! 2 2 2 3 5 3 T ( !( ! ! 1 ( % ! %Û 1 1 : f111# ´1%2% 11#2, 5%2 1%, 501 f' ( 113#5%21 donc 6 , y6x1y6x6 2 2 3°/ a ) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant ( pensez que certaines valeurs ont déjà été  calculé!!) x %4 %3, 5 % 3 %2, 5 %2 %1,5 %1 %00, 50, 5 1 1,5 2 3, 54, 5 3, 75 2 0 %1, 5%1, 75 0 4, 512, 5 f ( ! %17, 5 %6, 75 0 x  b/Construire la représentation graphique de f et les tangentesdans le repère ( O;i,j ! dans  l’intervalle [%4; 2] .unité graphique : 1unités représente 2cm sur l’axe des abscisses 1 unité  représente1cm sur l’axe des ordonnées æ 1 4°/ a) Démontrer que f ( x ! 1 ( x%1 ! ( x#3 ! x# . ç è 2 ø  b) Réaliser le tableau de signes de f x .En déduire les solutions de l’inéquation : f ( x ! 00 . ( ! x %4 %3%1/ 2 1 2 x % 1 0  + x#3 ++ +  0 0 + + 1 x# 2 f ( ! 0  + 00  + x S1]%4;%3[È] 1%/ 2 ; 1[ Exercice 3 2 x%3x#6 g R% { 1 } g ( x ! 1 , estdéfinie sur x%1 2 ( 2x%3 ! ( x%1 ! %x3%x6#1´ 2 22 ( ! 2x%2x%3x#3%x3#x6%x2%x3 g' ( x ! 11 1 2 22 ( x%1 ! ( x%1 ! ( x1% ! 2 2. g' ( x ! 10Ûx%2x%310 les solutions sont % 1 et 3

x % 1 1 3 #¥ # 0  0 # g' ( x ! %5 g ( x ! 3

3. équation de la tangente de la tangente T 2 à Cg au point d’abscisse2. ( ! 2 2 2%2´2%3 2%3´2#6 4 g' ( 2 ! 1 1%3 g ( 2 ! 1 114 2 ( 2%1 ! 2%1 1 T:y1f' 2x%2#f2 etT:y1 %3x%2#4Ûy13%x1#0 ( !( !( !( !

2 2 0%2´0%3 0%3´0#6 g' ( 0 ! 1 1%3 (( ! 2 g ( 2 ! 1 1% 6 et T:y1f' 0x%2 ! #f ( 0 ! Ûy1 %3x%6 0 ( 0%1 ! 0%1 2 2 22 2 x%3x#6 x%3x#6# ( 3x#6 ! ( x%1 ! x%3x#6#3x%3x6#x6%4x 4°/ g(x)%y1 #3x#611 1 x%1x%1x1%x1  Lenumérateur de quotient est un carré donc toujours positif , donc le signe de quotient ne dépend que  dusigne du dénominateur x % 1 ( ! ( T !  Si x01 alors x % 1 0 0 , alors g x%y0 donc 0 , Cg est au dessous de la tangente 0 ( ! ( T !  Si x 2 1 alors x % 1 2 0 , alors g x%y20 , donc Cg est au dessus de la tangente 0 Exercice 45 points

1°/ Etudier le signe de la dérivée et donner le tableau de variations 2  a) f(x) 1 x % 6x # 1 sur [ 0 ; 5 ] . ( ! 1 Û 1 f'(x)12x%6 ;f'x0x3 x  03 5 f' ( x !  0+

1 %4 f ( x ! % 9 x  1 % 5 5 0 10 f' ( x ! 0 0 + %10 f ( x ! 1 10 25 b) g(x) 1 x # sur [ 1 ; 10 ] . x 2 25x%25 ( x%5 ! ( x#5 ! g'(x)111% 1 2 22 x xx 25  c) h(x) 1 x % sur [ 1 ; 10 ] . x 2 25x#25 h'(x)11# 12 0 , donc la fonction h est donc strictement croissante sur [ 1 ; 10 ] 2 2 x x % 3x # 5  d) i(x) 1 sur [ 0 ; 10 ] . 4x # 2

%3 4x#2%3%x5#4´ % 12x%6#12x2%0 2%6 ( !( ! i' (x)11 1  ;donc i ( x ! 0 22 2 ' 0 ( 4x#2 ! ( 4x#2 ! ( 4x#2 !  Etpar conséquent la fonction i est donc strictement décroissante sur [ 1 ; 10 ]

3x%4  2°/ J(x)1(2x%8)x sur [ 51 ; ] . Prouverque J'(x)1 . x (2x%8) 4x#2x%8 6x8%3x4 J'(x)12x1 1# 1 2x2x2x x