Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première

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Dérivation- statistiques et produit scalaire
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première S

Sujets

1ère SDevoir surveillé de mathématiques (2h)Mercredi 16 Février 2011 Exercice 1: Briques de lait (12 points) Partie A: Étude d'une fonction 3 2 fx=2x−60x450x Soit la fonction ƒ définie sur IR paret soit Cƒsa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. 1. a)Déterminer f'(x) et étudier son signe. b) En déduire le tableau de variation de ƒ sur [0 ; 20]. 2. Déterminerun équation de la tangente T au point d'abscisse 0.

Partie B: Problème d'optimisation Un fabriquant envisage la production de briques de lait en carton. Il dispose au départ d'une feuille carrée en carton dans laquelle on a retiré deux bandes de la même largeur comme indiqué ci-dessous:

x Le côté de la feuille mesure 30 cm etdésigne la largeur (en cm) des bandes découpées. 0x15 On suppose que. Vxx 1. Déterminerle volumede la boîte en fonction de. x 2. Pourquelles valeurs devolume est-il maximal? Vous préciserez la valeur du volume maximal (en L).

Partie C: Défauts de briques de lait Ce même fabriquant procède à une étude pour évaluer le nombre de défauts constatés sur chaque brique lors de la production. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant: Nb de défauts0 12 3 4 5 6 Effectifs92 81 75 38 1259 83

1. Déterminerla médiane et la moyenne de cette série statistique. 2. Déterminerl'écart-type de cette série. 3. Faireun diagramme en boîte représentant cette série.

Exercice 2: Produit scalaire et barycentre (8 points) Soit ABC un triangle et K le projeté orthogonal de A sur (BC). On donne: AB = 6, BK = 4 et KC = 7. 1. Iest le milieu de [BC] et G le centre de gravité du triangle ABC. Faire une figure de la situation. BA.BC ; BC.CA ; IG.IB 2. Calculerles produits scalaires suivantspuis la somme GA.ACGB.ACGC.AC . 3. Détermineret représenter sur la figure de la question 1. l'ensemble des points M du plan tel que BM.BC=44 . 4. Détermineret représenter sur cette même figure l'ensemble des points M du plan tel que MAMBMC.AC=0 .