Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Seconde

Lhelmeg

Description

Avec correction. Vecteurs du plan- avec et sans coordonnées.
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour Seconde

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• Langue: Français

Extrait

SUJET G nde  D.S.n°10 : Vecteurs2 4 Calculatrices interdites,55 min. est à rendre avec la copie.Ce sujet Signature des parents: Note: Communication :#0% Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vu  Technique:# 0 % Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . .  Raisonnement :+% 0 20 • RAPPELS SUR LA FRAUDE AUX EXAMENS: Aucun échange de matériel ou d'informations n'est autorisé. Les téléphones portables doivent être éteints et rangés dans les sacs. En cas de similitudes dans les copies, les deux: Laisser copier unélèves concernés auront zéro camarade, c'est encourager la triche et accepter de pénaliser ceux qui ne trichent pas. Toute fraude ou tentative de fraude donnera lieu à un rapport qui sera consigné dans le dossier scolaire des élèves concernés. En cas de triche avec récidive, en plus de ce rapport, une mention figurera dans le bulletin scolaire desélèves concernés. • RAPPEL 2 : Il faut toujours prouver vos affirmations (sauf mention contraire de l'énoncé) et, lorsque vous justifiez vos réponses, la propriété employée doit apparaître clairement.

Exercice 1. Graphiquement /4 Placez sans justification les points demandés sur la figure ci-contre dans laquelle tous les petits triangles en pointillés sont identiques.

1)Placer M tel que CA+CE=CM . 2)Placer N tel que DB+ED=AN . 2 3 = − 3)Placer P tel que BP ED AB . 3 2

Rappel : Calculatrices INTERDITES. /3 Exercice 2. PR=7MN M, N, P , R et S sont des points tels queet SR=−4MN . Sans utiliser de coordonnées, montrez que les droites (PS) et (MN) sont parallèles.

/13 Exercice 3. ⃗ Dans le repère orthonormé (O ; i ,j) , les points N, G et S ont pour coordonnées respectives 1 − N(−2 ;1), G−6 ;− etS(−1 ;2). ( ) 3 /1 1)une figure que vous compléterez au fur et à mesure que de nouveaux objets (points, Faire droites...) apparaissent dans l'énoncé. /1,5 2)Déterminer par le calcul les coordonnées de L, image de S par la translation de vecteur NG . /2 3)Soit A le milieu de [SG]. Montrez sans aucun calcul que L, A et N sont alignés. /2 4) Quelle est la nature du quadrilatère SNGL ? Soyez aussi précis(e) que possible. /2 5) (SG) coupe l'axe des ordonnées en K. Déterminer par le calcul les coordonnées de K. /2 ⃗ 6)a) Soit M le point défini par MS+MN+MG= 0 .Déterminer par le calcul les coordonnées de M. /2,5 b)Soit I le milieu de [SN]. Déterminer par le calcul les coordonnées de I puis montrez que I, M et G sont alignés.

 CORRIGÉdu D.S. n°10 :VecteursG Sujet

Exercice 1. Graphiquement

Placez sans justification les points demandés sur la figure ci-contre dans laquelle tous les petits triangles en pointillés sont identiques.

1)M est tel que CA+CE=CM  parla règle du parallélogramme. 2)N est tel que DB+ED=ED+DB=EB=AN . 2 3 3)Placer P tel que BP=ED−AB . 3 2

nde 2 4

Exercice 2. PS=PR+RSla relation de Chasles, d'où arPS=PR−SR=7MN+4MN=11MN . Les vecteurs PS et MN sont donc colinéaires ce qui prouve que droites (PS) et (MN) sont parallèles.

Exercice 3. ⃗ Dans le repère orthonormé (O ; i ,j) , les points N, G et S ont pour coordonnées respectives 1 N(−2 ;1),G−6 ;− et S(−1 ;−2) . ( ) 3 1)Figure : 2) Lest image de S par la translation de vecteur NG signifie que SL=NG c'est à dire x2−1x=−5 −6+2 L =−6+ L x+1 L ⇔ = 1 ⇔ 9 101 1 + ) − −1 y=− −1−2y=− − =− ( y L 2 ( ) { L { L 3 3 3 33 10 L−5 ;− . ( 3 )

3)est image de S par la translation de L vecteur NG signifie que SL=NG est un parallélogramme.donc SNGL A est le milieu de la diagonale [SG]. Comme les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, A est aussi le milieu de l'autre diagonale, qui est [LN]. Les points L, A et N sont donc alignés.

4) ● On sait déjà que SNGL est un parallélogramme et au vu de la figure,on conjecture que c'est un rectangle. Montrons qu'il a un angle droit par la réciproque du théorème de Pythagore : 22 2 2 10 1 2 1610 4 2 222 2 GL= ( −5+6 ) + −+ = ( 1 ) + ( −3 ) =10 ; SL= ( −5+1 ) + −+2= ( −4 ) + −=16+ et ( 3 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 9 2 2 2 251 5 2 2 GS= ( −1+6 ) + −2+ = ( 5 ) + −=25+ . ( )( ) 3 39 2 2 16 2516 916 16 2 On a donc SL+GL=10+16+ =26+ =25+1+ =25+ +=25+ =GS la réciproque du . Par 9 99 99 9 2 22 théorème de Pythagore SL+GL=GS montre que l'angle GLS est droit. ● SNGLest donc un parallélogramme qui possède un angle droit, c'est donc un rectangle.

=0 5) K appartient à l'axe des ordonnées donc x K . S, G et K sont alignés donc les vecteurs SK et SG sont −6+1−5 x+ K 1 1 colinéaires. Or SK= = . En comparant les abscisses on voit que =−5x . et SG 1 5 x SG SK ( ) ( y+2 ) y K +2 − +2 K ( )( ) 3 3

5 − y=−5y )= Le coefficient de colinéarité est donc 5 d'où SG SK c'est à dire −5(y K +2 c'est à dire, en divisant 3 1 17 7 =− − =− K0 ;− les deux membres par -5, y K +2=− c'est à dire y K 2 . 3 33 ( 3 ) 6)a) −6−x−3x−9=0 3x=−9 M MM −1−x−2−x M M 0 ⃗ MS+MN+MG=0⇔ + += ⇔⇔  11 1 4 . ( ) ( −2−y ) ( 1−y ) − −y M 0−3y−1− =0 3y=−1− =− K K { {( ) M M 3 33 3 4 Les coordonnées de M sont donc M−3 ;− . ( 9 ) x+x y+y S N −1−2 3 S N −2+1 1 3 1 −;− b)I est le milieu de [SN] donc x= ==− et y= ==− . I ( ) I I 2 22 22 2 2 2 Montrons que I, M et G sont alignés : Pour cela on va montrer que les vecteurs I M et MG sont colinéaires. Or 3 3 3 −3+ −− − 6+3−3−3 2 22 3 11 I M= = = = et MG 3 41 41 . − ×2=−3 et×2= donc 4 18 91 − +− + ( )( )( ) 92 18 ( − + ) ( − + ) () 3 99 99 9 218 1818 2I M=MG vecteurs. Les I M et MG sont colinéaires donc I, M et G sont alignés.

 CORRIGÉdu D.S. n°10 :VecteursD Sujet

Exercice 1. Graphiquement

Placez sans justification les points demandés sur la figure ci-contre dans laquelle tous les petits triangles en pointillés sont identiques.

1)Placer M tel que AB+AC=AM par le règle du parallélogramme. 2)Placer N tel que AB+CA=CA+AB=CB=DN . 1 3 3)Placer P tel que EP=CD−AB . 3 2

Exercice 2.

nde 2 4

= += − =+ = EF ECCFla relation de Chasles, d'où rEF EC FC3AB5AB8AB . Les vecteurs EF et sontdonc colinéaires ce qui prouve que droites (EF) et (AB) sont parallèles. AB

Exercice 3. 1)Figure : 2) Lest image de S par la translation de vecteur NG signifie que SL=NG c'est à dire 6−2 x=6−2+1x=5 L L x−1 L = ⇔⇔ 8 8 8 9 1 ) +4 y=− +4−1 ( y+1 ( − ) { L y=− + = L { L 3 3 3 3 3 1 L5 ; . ( 3 ) 3) Lest image de S par la translation de vecteur NG signifie que SL=NG  doncSNGL est un parallélogramme. A est le milieu de la diagonale [SG]. Comme les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, A est aussi le milieu de l'autre diagonale, qui est [LN]. Les points L, A et N sont donc alignés.

4)on conjecture que c'est un rectangle. ● On sait déjà que SNGL est un parallélogramme et au vu de la figure, Montrons qu'il a un angle droit par la réciproque du théorème de Pythagore : 22 2 2 1 8 2 1 416 2 222 2 GL= ( 5−6 ) =+ + ( −1 ) + ( 3 ) =10 ;SL= ( 5−1 ) + +1= ( 4 ) + =16+ et ( 3 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 9 2 2 2 8 525 2 2 GS= ( 1−6 ) + −1+ = ( −5 ) + =25+ . ( 3 ) ( 3 ) 9 2 2 16 2516 916 16 2 On a donc SL+GL=10+16+ =26+ =25+1+ =25+ +=25+ =GS la réciproque du . Par 9 99 99 9 2 22 théorème de Pythagore SL+GL=GS montre que l'angle GLS est droit. ● SNGLest donc un parallélogramme qui possède un angle droit, c'est donc un rectangle.

x=0 . S, et sontsont alignés donc les vecteurs 5) K appartient à l'axe des ordonnées donc K G et K SK SG 6−1 5 x K −1 −1 = colinéaires. Or SK = . En comparant les abscisses on voit que x=x . et SG 8 5 SG −5 SK ( y K +1 ) ( y K +1 ) − +1− ( )( ) 3 3 5 =− − y5y − ( Le coefficient de colinéarité est donc 5 d'où SG SK c'est à dire 5y K +1)=− c'est à dire, en divisant 3 1 12 2 + == les deux membres par -5, y K à dire 1 c'esty K −1=− . K0 ;− 3 33 ( 3 ) 6)a) 6−x−3x+9=0 3x=9 M MM 1−x2−x ⃗ M M 0 MS+MN+MG=0= ⇔⇔ + +⇔  88 823 ( −1−y K ) ( −4−y ) − −y M ( ) −3y M 5 { 3y M 5 0=− −0=−=− − K {( ) 3 33 3 23 Les coordonnées de M sont donc M3 ;− . ( 9 ) x+x y+y S N 1+2 3 S N −1−4 5 3 5 − b)I est le milieu de [SN] donc x== = et y=−= = . I; 2 2 ( 2 2 ) I I 2 22 2 Montrons que I, M et G sont alignés : Pour cela on va montrer que les vecteurs I M et MG sont colinéaires. Or 3 33 3− 6−3 3−3 2 22 3 1 1 I M= = MG= = et 18 2316 23 . − ×2=−3 et − ×(−2)= 23 546 451 − +− + ( )( )( ) 218 9 ( − + ) ( − + ) ( − ) 99 93 9 9 218 1818 donc −2I M=MG vecteurs. Les I M et MG sont colinéaires donc I, M et G sont alignés.