Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale
5 pages
Français

Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

-

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
5 pages
Français
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Avec correction. Ds n-4 février 2012
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour Terminale S

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 75
Langue Français

Extrait

Terminale S 3Corrigé du DS n° 423 février 2012 Durée : 4 heures Exercice 1points) (3 On se propose de déterminer toutes les fonctionsfdéfinies et dérivables sur l'intervalle ]0 ;[ vérifiant l'équation différentielle (E) :. 1.a.Démontrer que sifest solution de (E)alors la fonctiong[ pardéfinie sur l'intervalle ]0 ;est solution de l'équation différentielle (E’) :.
Soitf une solution de (E). Montrons dans ce cas que la fonctiong définie et dérivable sur ]0 ;[ par solution de l'équation différentielle (E’), c’est.àdire que
Donc,sifest solution de (E)alorsgest solution de l'équation différentielle (E’). b.Démontrer que sihest solution de (E’)alors la fonctionfdéfinie par hest solution de (E’)donc . Montrons alors quef définie parest solution de (E)c’estàdire que
est
est solution de (E).
.
Ainsi,f définie plus haut est solution de (E). 2.Résoudre (E')et en déduire toutes les solutions de (E).(E') est une équation différentielle tu typedont les solutions sont les fonctions définies et dérivables sur l’intervalle.par oùsoit ici D’après la question1.les solutions de (E) sont les fonctionsf définies parsoit où . 3.Existetil une fonctionf solution de l'équation différentielle (E)dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le pointA(ln 2, 0) ? Si oui la préciser.
Il s’agit donc de la fonction définie par
.
Page 1 sur 5
Exercice 2 (7 points)
Soitfla fonction définie surpar . On note (C) la courbe représentative defdans un repère orthonormal. Partie A 1.Étudier les variations de la fonctionfsur . f;est dérivable suren tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle et ; La fonctionf.est donc strictement croissante sur 2.Déterminer la limite defen . La limite defen :etd’où, par somme,. 3.Montrer que (C) admet une asymptote oblique dont on précisera une équation. donc (D) déquationy = xest asymptote oblique à (C) (de plusdonc (D) est audessous de (C)). Partie B On considère la suiteà termes positifs définie par :u1= 0 et, pour tout entier naturelnnon nul, . 1.Démontrer que, pour tout réel x positif,. On pourra étudier la fonction g définie sur par . ;gdonc .est croissante sur 2.En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul,.
Prenons :,
3.Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul,
.
.
. 4.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,. Appelons Pn» ;la propriété : « Initialisation, soit Pdonc on a bien :: et1est vraie (1) Hérédité: Supposons que, pour unndonné, Pnsoit vraie, à savoir :;fétant croissante sur, on en déduit que ;d’après 3. et 2, d’oùil résulte. Ainsi la propriété Pn+1est vraie. 5..En déduire la limite de la suite  ordonc (théorème de comparaison). Page 2 sur 5
.
et
,
on en déduit que :
est décroissante sur
.
La fonction
Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, 6.a. Démontrer que, pour tout entier k supérieur ou égal à 2, on a :
d’où
donc pour 1xk, on a :
.
;d’aprèsl’inégalité de la moyenne,
Grâce à la relation de Chasles :
.
.
d’
b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :. D’après le résultat précédentappliqué successivement àk= 2,k= 3, ..,k=n1, il vient : , , ,. Puis en ajoutant membre à membre ces inégalités : .
;
.
Page 3 sur 5
;
converge vers 1 :
Comme ,on en déduit que : 7.Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a montré que Démontrer que la suiteconverge vers 1.
;
Donc, d’après le théorème des gendarmes,
;
La suite
Exercice 3 (5 points)Cet exercice ne concerne pas les élèves suivant la spécialitéPour chaque proposition, une seule est exacte.Encercler la bonne réponse.Afin d’éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de 0,5 points, tandis quechaque réponse fausse est pénalisée par le retrait de 0,25 point (aucune réponse : 0 point). ASoientf. la fonction dérivable surdéfinie par : 1.La dérivée def est définie par : Aucune des trois propositions n’est correcte2.L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonctionfau point d’abscisse 2 est: 3.Le minimum def est égal à : Aucune des trois 1 30 propositions n’est correcte4.0 2 5.Aucune des trois propositions n’est correcteBCidessous la courbe représentative de la fonctionhorthonormal etun repère dansAl’aire exprimée en unités d’aire du domaine grisé :
6. aétant l’abscisse du point d’intersection deavec l’axe des abscisses,A est égale à : Page 4 sur 5
7.est comprise entre 5 et33 et11 et 1et 3 1 CRésolutions d’équations et d’inéquations8.admet dans: 0 solution1 ou 3 solutions2 solutions4 solutions 9.admet dans: 0 solution1 solution2 solutions3 ou 4 solutions 10.a pour solution dans: Aucune des trois réponses Exercice 4 ( 5 points ) Pour chacune des 10questions, répondre par « vrai » ou « faux »,sans justification. Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.Si le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à 0.1.On considère les nombres complexes, et.  Vou FV ou F | u | = 24et .V |v | = 12et .F Si n est un entier naturel multiple de 3, nun réelF estnégatif. V alors uest unréel négatif. . V 2.Le plan est muni du repère orthonormal direct. A, B et C sont les points d’affixes respectives 1,2 i et.  Vou FV ou F L’ensemble des points M d’affixe zL’ensemble des points M d’affixe z vérifiant estla Vvérifiant estle F droite ( AB ).cercle de centre B et de rayon 4. Le triangle ABC est isocèle.F 3.Désormais, on supposeet on pose. On désigne par M le point d’affixe zet M’ le point d’affixez’. Alors :  Vou FV ou F . V BM×AM’ = 6 V
Page 5 sur 5
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • Podcasts Podcasts
  • BD BD
  • Documents Documents