Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

Tof

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Avec correction. Ds n-4 février 2012
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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• Langue: Français

Extrait

1 Terminale S 3

 Corrigédu DS n° 4 Duréeresheu4:

23 février 2012

Exercice 1points) (3 #¥ On se propose de déterminer toutes les fonctionsf[ vérifiantdéfinies et dérivables sur l'intervalle ]0 ; 2 xf' ( x ! % ( 2x # 1 ! f ( x ! 1 8x l'équation différentielle (E) :.

#¥ 1. a.Démontrer que sifest solution de (E)alors la fonctiongdéfinie sur l'intervalle ]0 ;[ par f ( x ! g ( x ! 1 y' 1 2y # 8 x est solution de l'équation différentielle (E’) :. f ( x ! g ( x ! 1 #¥ x Soitf une solution de (E). Montrons dans ce cas que la fonctiong définie et dérivable sur ]0 ;[ parest g' 1 2g # 8 solution de l'équation différentielle (E’), c’est-à-dire que. ¢ 2 æ f ( x ! ö xf ¢ ( x ! % f ( x ! ( 2x#1 ! f ( x ! % 8x % f ( x ! f ( x ! g ¢ ( x ! 1 1 1 12%812g ( x ! %8 ç ¸ 2 2 x xx x è ø Donc,sifest solution de (E)alorsgest solution de l'équation différentielle (E’).

f ( x ! 1 xh ( x ! b.Démontrer que sihest solution de (E’)alors la fonctionfdéfinie parest solution de (E). h' ( x ! 1 2h ( x ! # 8 hest solution de (E’) donc. 2 f ( x ! 1 xh ( x ! xf' ( x ! % ( 2x # 1 ! f ( x ! 1 8x Montrons alors quef définie parest solution de (E) c’est-à-dire que. ¢ xf' ( x ! % ( 2x#1 ! f ( x ! 1 x ( xh(x) ! % ( 2x#1 ! xh(x) 2 1x ( h(x)#xh'(x) ! %2x h(x)%xh(x) 2 2 1x h'(x)%2x h(x) 2 2 1x ( h'(x)%2h(x) ! 18xcarh est solution de(E'). 1 44 24 43 8 Ainsi,f définie plus haut est solution de (E).

2.Résoudre (E')et en déduire toutes les solutions de (E). y' 1 ay # b (E') est une équation différentielle tu typedont les solutions sont les fonctions définies et dérivables sur ax b h(x)1Ce% 2x ] 0 ;# ¥ [ h(x) 1 Ce % 4 a C Î ¡ l’intervalle paroù soitici . f(x) 1 xh(x) D’après la question1.les solutions de (E) sont les fonctionsf définies parsoit 2x2x f(x) 1 x ( Ce % 4 ! Û f(x) 1 xCe % 4 C Î ¡ où .

3.Existe-t-il une fonctionf solution de l'équation différentielle (E)dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le pointA(ln 2, 0) ? Si oui la préciser. 2 ln 2ln 4 f(ln 2) 1 0 Û ln 2 ´ Ce % 4 ln 2 1 0 Û Cln 2e % 4 ln 2 1 0 Û 4Cln 2 % 4 ln 2 1 0 Û C 1 1 2x f(x) 1 xe % 4x Il s’agit donc de la fonction définie par.

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1

2

Exercice 2 (7 points)

% x [ 0 ; # ¥ [ f ( x ! 1 x # e Soitfpar .la fonction définie sur (O;i,j) On note (C) la courbe représentative def.dans un repère orthonormal

Partie A [ 0 ; # ¥ [ 1.Étudier les variations de la fonctionfsur . %x%x f' ( x ! 11# %e ! 11%e ( [ 0 ; # ¥ [ fen tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle etest dérivable sur; %x%x f' ( x ! 2 0 Û 1 % e 2 0 Û 1 2 e Û % x 0 0 Û x 2 0 ; [ 0 ; # ¥ [ La fonctionf.est donc strictement croissante sur

#¥ 2.Déterminer la limite defen . % x X limf ( x ! 1 #¥ limx 1 #¥ lime 1 lime 1 0 x |#¥ #¥ x | #¥ x | #¥| X %¥ La limite def.par somme,en :et d’où,

3.Montrer que (C) admet une asymptote oblique dont on précisera une équation. %x %x lim ( f ( x ! %x ! 1lime10 f ( x ! % x 1 e 2 0 x|#¥ |#x¥ donc (D) d’équationy = xdonc (D) estest asymptote oblique à (C) (de plus au-dessous de (C)).

Partie B ( u ! n n ³ 1 On considère la suiteà termes positifs définie par :u 1 = 0 et, pour tout entier naturelnnon nul, %u n u1f ( u ! 1u#e n#1n n .

ln ( 1 # x ! £ x 1.. On pourra étudier la fonction g définie surDémontrer que, pour tout réel x positif, [ 0 ; # ¥ [ g ( x ! 1 x % ln ( 1 # x ! par . 1x g' ( x ! 1 1 % 1 ³ 0 g ( x ! ³ g ( 0 ! Û x % ln ( 1 # x ! ³ 0 Û ln ( 1 # ! x £ [ 0 ; # ¥ [ 1 # x1 # x ;gdonc .est croissante sur 1 ln ( n#1 ! £ln ( n ! # n 2.En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul,. æ 1 ö 1 æ n#1 ö 1 11 ln 1# £ Ûln£ Ûln ( n#1 ! %ln ( n ! £ Ûln ( n#1 ! £ln ( n ! # ç ¸ç ¸ { 1 è n ø n è n ø n ì ï a> 0 n n 1 x 1 ln1lna%lnbsi a 2 0 í n n b ï b> 0 î Prenons :, . 1 f ( ln ( n ! ! 1ln ( n ! # n 3.Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul,. 1 1 %x %ln ( n ! " x ³ 0,f ( x ! 1 x # e Þ f ( ln ( n ! ! 1 ln ( n ! # e 1 ln ( n ! # 1 ln ( n ! # ln ( n ! n n³1doncln (n)³0 e .

ln ( n ! £ u n 4.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,. ln ( n ! £u n Appelons P n » ;la propriété : «

u 1 0 ln ( 0 ! £u ln 110 1 0 Initialisation: etdonc on a bien :, soit P 1 est vraie (1)

ln ( n ! £u [ 0 ; # ¥ [ n Hérédité: Supposons que, pour unndonné, P n soit vraie, à savoir :;fétant croissante sur, on en déduit 1 f ( ln ( n ! ! 1 ln ( n ! # 2 ln ( n # 1 ! f ( ln ( n ! ! £ f ( u ! Û f ( ln ( n ! ! £ u ln ( n # 1 ! £ u n n n#1 n#1 que ;d’après 3. et 2, d’où il résulte. Page2sur62

3

Ainsi la propriété P n+1 est vraie.

( u ! n n ³ 1 5..En déduire la limite de la suite

lim lnn 1 #¥ limu 1 #¥ ln ( n ! £u n n n | #¥ n | #¥  ordonc (théorème de comparaison). 1 11 u£1# # #...# n 2 3n%1 Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entiern.supérieur ou égal à 2,

k 1 1 £ dx k ò k % 1 x 6..a. Démontrer que, pour tout entier k supérieur ou égal à 2, on a : 1 1 11 xa £ £ ] 0 ; # ¥ [ xk x k % 1 La fonctionest décroissante surdonc pour 1 xk, on a :; d’aprèsl’inégalité de la moyenne, on en déduit que : k kk 1 11 11 11 1 ( k% ( k%1 ! ! ´ £dx ( £k ( %k1% ! ! £´ Ûdx££ Þdx k ò k%1 x k%1k k%1 ò x k%1k k1% ò x .

u £ 1 # ln ( n % 1 ! n b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :. D’après le résultat précédent appliqué successivement àk= 2,k= 3, ..,k=n –1, il vient : 23 n%1 1 1 1 1 1 1 £dx £dx £dx 2 ò 1 x 3 ò 2 x n%1 ò n%2 x , ,… ,. Puis en ajoutant membre à membre ces inégalités : n%1n%1 2 3n1%k 1 11 11 11 1 # #O# £dx#dx#L#dxÛ £dx 2 3n%1 ò 1 x 2 ò x n2% ò x å k å k1% x ò k12k12 . n%1 n%1n%1 1 11 11 1 # #O# £dxÛ £dx 2 3n ò 1 x å k 1 ò x k12 Grâce à la relation de Chasles :; n%1 n%1 1 11 1 1 n%1 # #O# £ln ( n%1 ! Û £ln ( n%1 ! 1 å dx1 [ lnx ] 1ln ( n%1 ! ò 1 x 2 3n%1k k12 d’où . n%1 1 11 1 å u£1# # #...# Ûu£1# n n 2 3n%1k u £ 1 # ln ( n % 1 ! k12 n Comme ,on en déduit que :.

ln ( n ! £ u £ 1 # ln ( n % 1 ! n 7.Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a montré que. æ ö u n ç ¸ ln ( n ! è ø n21 Démontrer que la suiteconverge vers 1. æ u ö u 1#ln ( n%1 ! n n ln ( n ! £u£1#ln ( n%1 ! Û1£ £ n { ç ¸ ln ( n ! ln ( n ! ln ( n ! è ø n ³ 2 lnn20 carn21 La suiteconverge vers 1 :; æ ö æ 1 ö æ1 ö æ 1 1#lnn1% 1#ln ( n ! #ln 1%1#ln 1% ç 縸 ç ¸ ç¸ 1#ln ( n%1 ! n n n è èø ø è øè ø 1 111# ln ( n ! ln ( n ! ln ( n ! ln ( n ! ; æ 1 ö 1 # ln 1 % ç ¸ 1#ln ( n%1 ! è n ø æ 1 ö lim 1 0 lim11 lim ln1 % 1 0 ç ¸ lim lnn 1 #¥ n|#¥ ln ( n ! ln ( n ! n|#¥ n|#¥ è n ø n | #¥ et ,d’où ; u n lim 1 1 lnn n |#¥ Donc, d’après le théorème des gendarmes,

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3

4 Exercice3Cet exercice ne concerne pas les élèves suivant la spécialité(5 points) Pour chaque proposition, une seule est exacte.Encercler la bonne réponse. Afin d’éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de 0,5 points, tandis quechaque réponse fausse est pénalisée par le retrait de 0,25 point (aucune réponse : 0 point). ] 0 ; # ¥ [ 2 f(x) 1 % 2 ln(x) # 2 # x A-Soientf la fonction dérivable surdéfinie par :. f ¢ ( x ! 1 1.La dérivée def est définie par : 2 2 2 2x % 2 2x # 2 %2x%2 Aucune des trois propositions n’est correcte x x x

2.L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonctionf au point d’abscisse 2 est : y 1 f ¢ ( x ! ( x % 2 ! # f ( 2 ! y1f ¢ ( x ! ( x%2 ! %f ( 2 ! y1f ¢ ( 2 ! ( x%2 ! #f ( 2 ! y1f ( 2 ! ( x%2 ! #f ( 2 !

3.Le minimum def est égal à : 1 3

limf ( x ! 1 x | 0 4. 0

f ( e ! 1 5. e

2

e # 1

0

e % 1

Aucune des trois propositions n’est correcte

#¥

Aucune des trois propositions n’est correcte

B-Ci-dessous la courbe représentative de la fonctionhorthonormal etun repère dansAl’aire exprimée en unités d’aire du domainerisé :

C h 6. a étant l’abscisse du point d’intersection deavec l’axe des abscisses,A est égale à : Page4sur64

5 a4 h(x)dx#h(x)dx ò %1a ò

a4 h(x)dx%h(x)dx ò %1a ò

4 h(x)dx ò %1 7.est comprise entre –5 et –3–3 et –1

C- Résolutions d’équations et d’inéquations 2 ( ln ( x ! ! % ln ( x ! % 6 1 6 8.admet dansℝ: 0 solution1 ou 3 solutions

2 % x x e 1 % 1 9.admet dansℝ: 0 solution1 solution

1 1 x3 e 2 e 10.a pour solution dansℝ: ] 0 ; 3 [ ] %¥ ; % 3 [ È ] 0 ; # ¥ [

a4 % h(x)dx # h(x)dx ò %1a ò

–1 et 1

2 solutions

2 solutions

ℝ

a4 % h(x)dx % h(x)dx ò %1a ò

1 et 3

4 solutions

3 ou 4 solutions

Aucune des trois réponses

Exercice 4 ( 5 points ) Pour chacune des 10questions, répondre par « vrai » ou « faux »,sans justification. Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à 0. u z1 u 1 % 12 i3 # 12 v1 %6 3#6 i v 1.On considère les nombres complexes, et. V ou FV ou F 5 π 7 π arg (u )1 [ 2 π ] arg (v )1 [ 2 π ] V F 3 6 | u | = 24et .| v | = 12et . Si n est un entier naturel multiple de 3, 4 4 z#z n F V est un réel négatif. alors uest un réel négatif. z 1 % 3 # i V .

( O; u; v) 2.. A, B et C sont les points d’affixesLe plan est muni du repère orthonormal direct 2 3%i (3#1 ) respectives 1, – 2 i et. V ou FV ou F L’ensemble des points M d’affixe zL’ensemble des points M d’affixe z ( 2#i ) z#( 2%i ) z14 ( z # 2 i )( z % 2 i ) 1 4 V F vérifiant estla vérifiantest le droite ( AB ).cercle de centre B et de rayon 4. Le triangle ABC est isocèle.F

z#4i z'1 z¹ %2i z%2i 3.. On désigne par M le point d’affixe zet on poseDésormais, on suppose  etM’ le point d’affixez’. Alors : V ou FV ou F Page5sur65