Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

Tof

Description

Avec correction. Ds-4 février 2011
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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• Langue: Français

Extrait

1 Terminale S3

 DSde Mathématiques n° 4 Durée: 4 heures

Exercice 1 points) (5 (O;u,v) Le plan est muni d’un repère orthonormal directd’unité 1 cm.

25 Février 2010

1.Restitution organisée de connaissances W On rappelle que le pointM’est l’image du pointMpar la rotationret d’angle dede centre ì WM'1 WM(1) ï uuuur uuuuur í ( WM,WM' ! 1a#k2p,k΢(2) ï a î mesure siet seulement si :. w W a.Soientz,z’et lesaffixes respectives des pointsM,M’et . Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d’arguments. a w b.En déduire l’expression dez’en fonction dez, et. 2 z%4 3z#1610 2.Résoudre dans l’ensembledes nombres complexes l’équation :. On donnera les solutions sous forme algébrique. a12 3%2i b12 3#2i 3.SoientAetBles points d’affixes respectiveset . a.Écrire a et b sous forme exponentielle. b.Faire une figure et placer les pointsAetB. c.Montrer queOABest un triangle équilatéral. 2 p c 1 % 8i 3 4.SoitCetle point d’affixeDson image par la rotation de centreOet d’angle. d14 3#4i Placer les pointsCetD. Montrer que l’affixe du pointDest . 5.Montrer queDest l’image du pointBpar une homothétie de centreOdont on déterminera le rapport. 6.Montrer queOADest un triangle rectangle.

Exercice 2  (4 points) On donne la représentationra hi ued’une fonctiondéfinie et continue sur l’intervalle I = [−3 ; 8].

x F ( x ! 1 f ( t ! dt ò 0 On définit la fonctionF.sur I par 1. a.Que vaut F(0) ? b. Donner le signe deF(x) : xÎ [ 0 ; 4 ] – pour; Page1sur6

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xÎ [ %3 ; 0 ] – pour. Justifier les réponses. 6£F ( 4 ! £12 c..Faire figurer sur le graphique les éléments permettant de justifier les inégalités

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3 2. a. Que représentef pourF? b. Déterminer le sens de variation de la fonctionFsur I. Justifier la réponse à partir d’une lecture graphique des propriétés def. 3.ose de deux reOn dishi uesrésentations rasur I.

Courbe ACourbe B L’une de ces courbes peut-elle représenter la fonctionF? Justifier la réponse.

Exercice 3 (4 points)

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

PARTIE A : On définit : 1 4 n,u=u+ n+1n ( u ) u=13 0 5 5 n ao.et, pour tout entier naturelpar :la suite n n å k0 1 2n n,S=u=u+u+u+L+u ( S ) n k=0 bo.la suitepar : pour tout entier naturel 12 n,u=1+ n n 5 1)Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel. ( u ) n En déduire la limite de la suite. ( S ) n 2)a).Déterminer le sens de variation de la suite S n b)Calculer enfonction den. ( S ) n c)Déterminer la limite de la suite.

PARTIE B : ( x ) n Etant donné une suite, de nombres réels, définie pour tout entier natureln, on considère la suite n S=x n å k ( S ) n k=0  définie par. Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas.

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