8e ann\351e 6 Module 4 Les prismes et les cylindres.indd

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Les prismes et les cylindres Durée suggérée: 5 semaines
  • cylindre
  • cylindres
  • prisme droit
  • prismes droits
  • aires
  • aire
  • report direct de l'exposition précédente aux formules d'aire et au travail avec les développements
  • volume
  • volumes
  • formules
  • formule
  • développement
  • développements
Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Source : ed.gov.nl.ca
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Les prismes et les cylindres
Durée suggérée: 5 semaines
LES PRISMES ET LES CYLINDRES
Aperçu du module
Dans le présent module, les élèves utiliseront des développements Orientation et
bidimensionnels pour créer des solides tridimensionnels. Ils
contexte commenceront à calculer l’aire totale en dessinant des développements
d’objets à trois dimensions, avant de généraliser des formules et
d’utiliser uniquement une représentation symbolique. Ils étudieront
la quantité d’espace compris dans les prismes et les cylindres, puis
élaboreront et appliqueront des formules servant à déterminer le volume
de ces solides. Le volume de tout prisme droit ou cylindre droit peut
être calculé à l’aide de la formule : Volume = (aire de la base) x hauteur.
Tout au long du module, les élèves seront encouragés à dessiner des
diagrammes et des modèles qui les aideront à visualiser les objets à trois
dimensions qui sont décrits.
Le programme des années d’études précédentes portait surtout sur
l’acquisition de la compréhension de la mesure bidimensionnelle. Les
élèves ont calculé l’aire de rectangles, de triangles et de cercles, et le
volume de prismes rectangulaires droits. Dans le présent module, ils
appliqueront ces connaissances au calcul de l’aire totale et du volume de
prismes et de cylindres.
La compréhension des aires et des volumes est nécessaire pour Pourquoi est-ce
fonctionner en société. Les activités qui requièrent ces connaissances
important? vont des tâches quotidiennes telles que la cuisine ou le remplissage
des bouteilles du bébé, à la peinture d’une pièce ou à la pose d’un
revêtement sur un hangar, jusqu’aux tâches plus complexes comme
l’étude scientifi que de la question de l’aire totale par rapport au volume,
à laquelle les biologistes doivent souvent répondre. Nous vivons dans
un monde tridimensionnel. Pour arriver à comprendre les dimensions,
les élèves ont besoin des concepts d’aire totale et de volume. Le volume
est utilisé dans la gestion des déchets pour déterminer dans quelle
mesure le recyclage réduit les quantités de déchets produites. Il est
utilisé en ingénierie et en construction pour déterminer la quantité de
béton requise pour un projet. L’aire totale et le volume sont utilisés
dans la conception d’un emballage pour déterminer le choix le plus
économique. Ces concepts servent à la conception de bâtiments et
de parcs, et à la planifi cation urbaine. Le présent module est riche en
applications dans la vraie vie. Les élèves parviendront à apprécier ces
concepts au moyen d’activités pertinentes de résolution de problèmes.
e118 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8 ANNÉE - VERSION PROVISOIRELES PRISMES ET LES CYLINDRES
Processus [C] Communication [RP] Résolution de problèmes
[L] Liens [R] Raisonnement mathématiques
[CE] Calcul mental et estimation [T] Technologie
[V] Visualisation

RÉSULTAT PROCESSUS
DOMAINE Résultats
D’APPRENTISSAGE MATHÉMATIQUES
d’apprentissage
Dessiner et construire de La forme et l’espace
développements d’objets à C, L, RP, V
(La mesure) trois dimensions. [8FE2]
Déterminer l’aire de la
surface:
• de prismes droits à
La forme et l’espace C, L, RP,
base rectangulaire;
• de prismes droits à
(La mesure) R, V
base triangulaire;
• de cylindres droits;
pour résoudre des problèmes.
[8FE3]
Développer et appliquer des
formules pour déterminer le
volume des prismes droits à La forme et l’espace C, L, RP,
base rectangulaire, des
(La mesure) R, V prismes droits à base
triangulaire et des cylindres
droits. [8FE4]
ePROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8 ANNÉE - VERSION PROVISOIRE 119LES PRISMES ET LES CYLINDRES
Domaine: La forme et l’espace (la mesure)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifi ques
Dans les années d’études précédentes, on a mis l’accent sur l’étude de
la mesure bidimensionnelle. Les élèves ont calculé l’aire de rectangles L’élève devra
e eet le volume de prismes rectangulaires droits en 6 année. En 7 année,
8FE2 Dessiner et construire de le calcul incluait aussi l’aire de triangles et de cercles. Dans le présent
développements d’objets à trois module, les élèves dessineront des développements, détermineront les
dimensions. [C, L, RP, V]
bons développements relatifs à diff érents objets et construiront des
objets à trois dimensions à partir de développements. Ils établiront
aussi un rapport avec les connaissances acquises précédemment, qu’ils
appliqueront ensuite à la détermination de l’aire totale et du volume de
cylindres et de prismes.
Avant de généraliser les formules et d’utiliser uniquement des représenta-Indicateurs de rendement:
tions symboliques pour calculer l’aire totale et le volume, les élèves dess-
8FE2.1 Apparier un ineront des développements d’objets à trois dimensions. La compréhen-
développement donné à l’objet à sion des modèles concrets permet aux élèves de visualiser les fi gures et les
3D qu’il représente. encourage à utiliser le raisonnement plutôt que de se contenter d’essayer
de suivre les procédures. Il s’agit ici de la première exposition des élèves
à l’utilisation de développements pour étudier et créer des solides à trois
dimensions. Le développement est une fi gure bidimensionnelle qu’il est 8FE2.2 Tracer des
possible de découper et de plier pour fabriquer un solide tridimension-développements d’objets à 3D
nel. La fi gure à gauche est le développement du solide à droite. donnés, tels que des cylindres
droits, des prismes droits à base
rectangulaire et des prismes
droits à base triangulaire, puis
vérifier en construisant l’objet à
partir de son développement.
Figure 1: Développement Figure 2: Coquille Figure 3: Solide
Les élèves doivent d’abord bien comprendre le vocabulaire.
Représentation Exemple(s) Définition/Explication
Objet à trois dimensions dont
Solide Un pilier/du beurre
l’intérieur est rempli
Un carton de lait, une boîte de Objet à trois dimensions dont
Coquille
céréales l’intérieur est vide
Diagramme plat que l’on peut
Une boîte de carton avant
Développement plier pour créer un solide –
d’être assemblée.
montre les faces.
Bien que l’accent soit sur les développements et les solides, l’exposition
au concept des coquilles pourrait permettre une discussion plus poussée
du résultat.
À suivre
ePROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8 ANNÉE - VERSION PROVISOIRE120LES PRISMES ET LES CYLINDRES
Résultat d’apprentissage général: Résoudre des problèmes à l’aide de mesures
directes ou indirectes.
Stratégies d’évaluation Ressources/Notes
Performance
• Visitez les sites Web mentionnés ci-après, pour explorer les dével-
oppements et les objets à trois dimensions.
http://www.mathsnet.net/geometry/solid/index.html
http://wwwy/solid/nets.html
http://www.learner.org/interactives/geometry/platonic.html
(8FE2.1, 8FE2.2)
Chenelière Mathématiques 8
Leçon 4.1: Les développements
GE: ProGuide: p. 4-10, FR 4.6
CD-ROM: FR 4.36
ME: p.170-176
ePROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8 ANNÉE - VERSION PROVISOIRE 121LES PRISMES ET LES CYLINDRES
Domaine: La forme et l’espace (la mesure)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifi ques
L’élève devra
8FE2 Dessiner et construire de Les élèves doivent se familiariser avec des termes tels que ceux inclus
développements d’objets à trois dans le tableau ci après et être en mesure de les utiliser facilement.
dimensions. [C, L, RP, V]

(suite) Un développement Un prisme droit à base circulaire
Un prisme droit L’aire
Un cube L’aire totale
Un prisme droit à base Indicateurs de rendement: Le volume
rectangulaire
8FE2.1 Apparier un Un prisme droit à base
Un polyhèdre développement donné à l’objet à triangulaire
3D qu’il représente. Un prisme régulier
(suite)
Certains exemples d’objets à trois dimensions et de leurs développe-
ments sont illustrés ici.
8FE2.2 Tracer des
développements d’objets à 3D
donnés, tels que des cylindres
droits, des prismes droits à base
rectangulaire et des prismes
droits à base triangulaire, puis
vérifier en construisant l’objet à
partir de son développement.
(suite)
Lorsqu’ils fabriquent des développements, les élèves doivent insister
surtout sur les faces et la façon dont celles-ci s’adaptent les unes aux
autres pour créer la forme. Ils doivent imaginer ce dont les objets à
trois dimensions auraient l’air s’ils étaient désassemblés. Il faut rappeler
aux élèves que les pièces doivent avoir les bonnes dimensions pour
s’adapter les unes aux autres, surtout les cercles d’un cylindre. Il faut
également leur rappeler de raccorder les formes dans le développement.
Il se peut qu’ils aient toutes les pièces, mais qu’ils aient encore de la
diffi culté à dessiner le développement. Assurez-vous qu’il n’y a aucun
chevauchement de pièces ou qu’il n’y a pas de trou là où il devrait y avoir
un côté. Le papier à points et le papier quadrillé seront utiles dans le cas
du présent module. On peut trouver les feuilles reproductibles de ces
documents dans le livret intitulé « Pro Guide » qui précède les modules.
ePROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8 ANNÉE - VERSION PROVISOIRE122LES PRISMES ET LES CYLINDRES
Résultat d’apprentissage général: Résoudre des problèmes à l’aide de mesures
directes ou indirectes.
Stratégies d’évaluation Ressources/Notes
Chenelière Mathématiques 8
Leçon 4.1: Les développements
GE: ProGuide: p. 4-10, FR 4.6
CD-ROM: FR 4.36
ME: p p. 170-176
ePROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8 ANNÉE - VERSION PROVISOIRE 123LES PRISMES ET LES CYLINDRES
Domaine: La forme et l’espace (la mesure)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifi ques
8FE2 Dessiner et construire de L’élève devra
développements d’objets à trois Il est important de se rendre compte qu’il est possible de créer un objet
dimensions. [C, L, RP, V] à trois dimensions donné à partir de plusieurs développements. Dans le
présent indicateur, on demande aux élèves de prédire un solide à partir (suite)
d’un assortiment de développements de formes semblables agencées
diff éremment. Il est par exemple possible de plier chacun des développe-
ments illustrés ci-après de façon à créer un cube.Indicateurs de rendement:

8FE2.3 Prédire les objets à trois
dimensions qui pourraient être
construits à partir de
développements donnés et
vérifier les prédictions.
8FE2.4 Construire un objet à
trois dimensions à partir de son
développement.
Il est possible d’utiliser les stratégies mentionnées ci-après pour aider les
élèves à déterminer si un développement est celui d’un prisme rectangu-
laire, d’un prisme triangulaire ou d’un cylindre.
• Le développement d’un prisme rectangulaire doit avoir six côtés
rectangulaires, quatre d’entre eux étant congruents et les deux autres,
congruents eux aussi (l’un avec l’autre).
• Le développement d’un prisme triangulaire comporte cinq côtés,
deux d’entre eux étant des triangles congruents et les trois autres, des
rectangles congruents.
• Le développement d’un cylindre doit comporter deux cercles et un
rectangle.
Les élèves doivent toujours être encouragés à faire une prédiction avant
d’eff ectivement plier un développement pour construire un objet à trois
dimensions.
ePROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8 ANNÉE - VERSION PROVISOIRE124LES PRISMES ET LES CYLINDRES
Résultat d’apprentissage général: Résoudre des problèmes à l’aide de mesures
directes ou indirectes.
Stratégies d’évaluation Ressources/Notes
Investigation
• Reportez-vous au site Web du gouvernement de T.-N.-L. pour trouver
l’exercice « Predict 3 D Objects from Nets » (Prédire des objets à trois
dimensions à partir de développements). La feuille de travail est présentée
ci-après. Le papier à points et le papier quadrillé seraient utiles pour cette
activité. Chenelière Mathématiques 8
http://www.ed.gov.nl.ca/edu/k12/curriculum/documents/mathematics/index. Leçon 4.2: Construire des objets à
html#gr8support (8FE2.3) partir de développements
Prédire des objets à trois dimensions à partir des développements
GE: ProGuide: p. 11-16
CD-ROM: FR 4.37Développements géométriques
ME: p. 177-182
Ci-dessus on voit trois solides géométriques et un développement en 2 dimensions que l’on
peut plier pour créer chaque solide géométrique.
Peut-on réarranger les parties de chaque développement et toujours plier le développement
pour créer le solide géométrique?
Si possible, dessinez des développements diff érents pour chaque solide, découpez-les et pliez de
façons diff érentes pour répondre à cette question. Du papier quadrillé ou du papier à points
rendra cette tâche plus facile.
Séparez les développements qui fonctionnent et les développements qui ne fonctionnent pas en
deux groupes.
Les développements que l’on peut réarranger ont-ils des traits en commun?
Les dév’on ne peut pas réarranger ont-ils des traits en commun?
Performance
• Les élèves peuvent construire de petites boîtes de cadeau à partir de cartes de
souhaits à l’aide de l’exercice « Foldable Greating Card Gift Boxes » (boîtes
de cadeau faites de cartes de souhaits pliables). Reportez-vous au site Web
du gouvernement de T.-N.-L. pour trouver cette activité. Le site est riche
en possibilités mathématiques. En plus de s’en servir pour évaluer le résultat
actuel, on peut l’utiliser pour revoir le théorème de Pythagore en posant des
questions au sujet de la nature des objets qui s’insèreront dans la boîte en
diagonale. Le site peut aussi renforcer les résultats en matière de fractions,
de décimales et de pourcentages.
http://www.ed.gov.nl.ca/edu/k12/curriculum/documents/mathematics/
ePROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8 ANNÉE - VERSION PROVISOIRE 125LES PRISMES ET LES CYLINDRES
Domaine: La forme et l’espace (la mesure)
Résultats d’apprentissage Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
spécifi ques
Les élèves ont déjà élaboré et appliqué les formules relatives à l’aire d’un L’élève devra
rectangle, d’un triangle ou d’un cercle. Dans le présent module, ils ont
8FE3 Déterminer l’aire de la dessiné des développements de prismes et de cylindres. Ils établiront
surface : maintenant des rapports entre l’aire et les développements au moment
de calculer l’aire totale de prismes rectangulaires ou triangulaires et de • de prismes droits à base rect-
cylindres.angulaire;
• de prismes droits à base trian-
gulaire;
• de cylindres droits;
pour résoudre des problèmes.
Les concepts d’arête, de face et de sommet ont été traités dans le cadre [C, L, R, RP, V]
des années d’études précédentes. Il se peut qu’une brève révision soit
nécessaire.
Indicateurs de rendement:
Un prisme Un prisme triangulaire a 9 arêtes,
triangulaire 6 sommets et 5 faces
8FE3.1 Identifier toutes les
faces d’un prisme donné, y
compris des prismes droits à
Un prisme rectangulaire a 12 base rectangulaire et des prismes Un cube
arêtes, 8 sommets et 6 facesdroits à base triangulaire.
L’aire totale est la somme des aires de toutes les faces ou surfaces d’un
8FE3.2 Expliquer, en se solide. Le calcul de l’aire totale des solides dans le présent module doit
servant d’exemples, la relation être le report direct de l’exposition précédente aux formules d’aire et au
entre l’aire de figures à deux travail avec les développements, et découler en douceur de l’indicateur
dimensions et l’aire de la de rendement 8FE3.1, qui portait surtout sur la détermination des faces
surface d’objets à trois d’un solide. Il se peut qu’une brève révision de l’aire d’un rectangle,
dimensions. d’un triangle ou d’un cercle soit nécessaire. Pour calculer l’aire totale, les
élèves doivent défi nir les faces, déterminer les dimensions de chaque face
et appliquer les formules appropriées au calcul de l’aire.
ePROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8 ANNÉE - VERSION PROVISOIRE126

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