DEVOIR D'ANALYSE N˚

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DEVOIR D'ANALYSE N˚ 1 A remettre dans la semaine du 5 au 10 mars Exercice Soit n ? N?, et soit fn la fonction definie sur [ 0, ∞ [ par fn(x) = (1 + x n)1/n . Etudier la convergence uniforme sur [ 0, ∞ [ de la suite (fn)n≥1. Probleme Soit n ? N?, et soit fn la fonction definie sur [ 0, +∞ [ par fn(x) = { ( 1? xn )n si x ? [ 0, n ] 0 si x ≥ n . 1) Montrer que fn est continue sur [ 0, ∞ [ , et que fn est derivable sur [ 0, ∞ [ si n ≥ 2. 2) Trouver la limite simple f sur [ 0, +∞ [ de la suite (fn)n≥1. 3) Pour x ≥ 0, on pose h(x) = xe?x. Montrer que la fonction h est bornee sur [ 0, +∞ [ et calculer ||h ||∞. 4) Pour x ? [ 0, n [ on pose gn(x) = x + (n? 1) ln ( 1? x n ) . a) En etudiant les variations de gn, montrer qu'il existe un nombre ?n et un seul dans ] 0, n [ tel que gn(?n) = 0, et que ?n > 1.

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 6
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DEVOIR D’ANALYSE N˚1
A remettre dans la semaine du 5 au 10 mars
Exercice SoitnN, et soitfn0r[lafoidnnotceiuse´n,[ par n1/n fn(x) = (1 +x). Etudier la convergence uniforme sur[ 0,[ dela suite (fn)n1. Probl`eme SoitnN, et soitfncnitalof[0esureniond´,+[ par  n x 1six[ 0, n] n fn(x) =. 0 sixn 1) Montrer quefn[ 0est continue sur,[ ,et quefne´iravlbseru0[estd,[ sin2. 2) Trouver la limite simplef0sur [,+[ dela suite (fn)n1. x 3) Pourx0, on poseh(x) =xe. Montrer que la fonctionhsebtro´neesur[0,+[ et calculer||h||. 4) Pourx[ 0, n[ onpose   x gn(x) =x+ (n11) ln. n a)En´etudiantlesvariationsdegn, montrer qu’il existe un nombreαnet un seul dans] 0, n[ tel quegn(αn) = 0, et queαn>1. 0 0 b)Ende´duirelesignedeffsur [0, n] . n h(αn) c) Montrer quef(αn)fn(αn) =. n 5) Montrer que||ffn||= (ffn)(αnriqeeualetdne´ud,e)suite(fneme´tninuemrof)converg versfsur [0,+[ .   a R 6) Soita >suituelaerpiuqeceqede`ce´.D0edirdu´efn(x)dxconverge et donner sa limite. 0 7) En vous inspirant d’un calcul fait en cours, montrer que si|x|<lra´eeng´meeretdeire´sal,1 n n (1)x /nconverge et que X k x k (1) =ln(1 +x). k k=1 8)Ende´duireque   k X 2 1k gn(2) =, n k(k+ 1) k=2 puis que 1< αn<2.
Corrige´
Exercice
Si 0x <1,on´ecrit n ln(1 +x) fn(x) = exp, n n ln(1+x) n n La suite (x) converge vers 0, donc (ln(1+xemelA.tn)nvera)g)ec´osre0egevrslo(tla n n suite (fn(x+)) converge vers 1, et de plus, puisque (1x)e´dneno,1equitdufn(x)f(x). 1/n Six= 1, on afn(1) = 2et la suite (fn(1)) converge vers 1. Six >1tceiro,´n   1/n 1 1 fn(x) =x=1 +xfn(x), n x 11 et puisque 0<< x1, la suite (fn(x)) converge vers 1, et (fn(x)) versx, et puisque 1 fn(x)queduitnd´eo,en1fn(x)f(x).
La suite (fn) admet donc comme limite simple la fonctionfeniepard´ 1 six[ 0,1 ] f(x) =. xsix >1 Remarque:onpeut´ecriree´galementf(x) = max(1, x), et on voit que la fonctionfest continue.
Pour´etudierlaconvergenceuniforme,onregardesurlesintervalles[0,11 ]et [,+[ . Sur [0,on a, en majorant1 ] ,xpar 1, n1/n1/n |fn(x)f(x)|= (1 +x)121 =fn(1)f(1). Sur [1,+dueielvs[o,´ntesdeariationfnf. On a 1 1 0 0n1n1 f(x)f(x(1 +) =x)nx1 n n n 1n n1n =x(1 +x)1 n 1n n = (1+x)1 n 1 =n11. n (1 +x) n 0 0 f( Onende´duitquenx)f(xeuqcnod,fitage´tnes)fnfnd´ecroissante.Aetsnufenotcoisrol, de nouveau |fn(x)f(x)|=fn(x)f(x)fn(1)f(1). Ilenr´esulteque ||fnf||=fn(1)f(1), et donc, puisque la suite (fn(1)frevneveg1(oc))d´eduitqrs0,onen(eeualustifn) converge uniform´ementversf0sur [,+[ . Probl`eme 1) La fonctionfnest continue sur[ 0, nsur ][ etn,+les restrictions de[ carfnsa`ec intervallessontdesfonctionspolynoˆmes.Parailleurs   n x limfn(xlim 1) ==fn(nlim) = 0 =fn(x), xn xnnxn − −+ 2
doncfnest continue ennelI.´rneluseuqetfn[ 0est continue sur,+[ .
Sin2, la fonctionfn´etdesselbavir0[ru, n[ etsur ]n,+[ carles restrictions defna`ecs intervallessontdesfonctionspolynoˆmes.
Poure´tudierlad´erivabilit´eenndeuxerdec´edtpropnueo,nimare`es:
Premie`reme´thode
On a  n1 x 01six[ 0, n[ n f(x) =. n 0 six > n Alors   n1 x 0 0 limf(xlim 1) == 0 =limf(x), n n xn xnnxn − −+ 0 doncfnndltbeee´irsaevnetf(neuqesultnr´e.Ile)=0fnavire´dtse[0uresbl,+[ . n
Deuxie`meme´thode On calcule la limite enndu taux de variation. On a x n (1) 1x nn1 =(1) six[ 0, n[ fn(x)fn(n) xn nn =. xn0 six > n Alors fn(x)fn(n)fn(x)fn(n) lim =lim =0. + xnxnxnxn 0 tf Doncfnvireelbaened´stnen(n) = 0. 2) Soitx´exifitosepbromnnuqseuD.e`nx, on a   n x fn(x1) =, n x et la limite de la suite (fn(x)) estepu,rirepnue´tcesiuqleoh i x fn(x) = expnln 1, n etquunde´veloppementlimite´en0deln(1+u) donne h  i x x fn(x) = expn+= exp(x+(1)), n n x qui admet bien comme limitee. 0 −x 3) On ah(x) = (1x)e, et donc la fonctionhest croissante sur[ 0,d´etroecsaisesntru]1 [ 1,+et comme elle est positive, on a donc[ , 1 ||h||=h(1) =. e 4) a) La fonctiongnlbseru0[td´erivaes, n[ ,et on a 1 n1 1x 0n g(x) = 1 + (n11) ==. n x 1nx nx n 3
La fonctiongnest strictement croissante sur[ 0,orsiastnseru1[tstrictementd´ece]1, n[ .Alors puisquegn(0) = 0, on agn(1)>0, etgn(x) tend vers−∞quandxtend versn. Commegn estuneapplicationcontinuestrictementde´croissante,lapplicationgnest alors une bijection de [ 1, n[ sur ]−∞, gnet il existe un point(1) ] ,αnet un seul dans] 1, nque[ telgn(αn) = 0.
b) Etudions les variations deffn0sur [, n] .On a   n1 x 0 0x f(x)f(x) =1− −e . n n Maiscommelafonctionlogarithmen´eperienestcroissante,cetteexpressionalemeˆmesigneque   n1 x x ln 1− −lne=gn(x). n 0 0 La fonctionff[ 0est donc positive sur, αnru[n´],getaviseαn, nnulle en] etαn. n
0 0 c) On a doncf αeir-d`at-esc), n(αn) =f(n   n1 αn αn 1=e . n Alors    n1n αnαn f(αn)fn(αn1) =− −1n n    n1 αnαn = 111n n   n1 αnαn = 1n n ααn n =e . n Ilenr´esultebienque h(αn) f(αn)fn(αn) =. n n 5) Comme (ffn)(0) = 0 et (ffn)(n) =e, la fonctionffnest positive, et atteint son maximum sur[ 0, n] enαn. Donc, pour toutx0de [, n] ,on a 0f(x)fn(x)(ffn)(αn). En particulier f(n)fn(n)(ffn)(αn). Par ailleurs sixn, on a xn f(x)fn(x) =ee=f(n)fn(n), et donc, pour toutx0, on a 0f(x)fn(x)(ffn)(αn). Onende´duitque ||ffn||= (ffn)(αn).
Alors
h(αn) ||ffn||=, n 4
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