DEVOIR D'ANALYSE N˚

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DEVOIR D'ANALYSE N˚ 2 A remettre dans la semaine du 16 au 20 avril Nombres de Stirling de deuxième espèce Dans l'espace vectoriel Rn[X] des polynômes de degré au plus n, on note f0(X) = 1 , f1(X) = X et, si 2 ≤ k ≤ n, fk(X) = X(X ? 1) · · · (X ? k + 1) . On obtient ainsi une base (f0, f1, · · · , fn) de Rn[X]. Il existe alors des nombres S(n, k) (nombres de Stirling de deuxième espèce) tels que, si 0 ≤ k ≤ n, Xn = n∑ k=0 S(n, k)fk(X) . 1) a) Pour tout n ≥ 0, calculer S(n, 0) et S(n, n). Pour tout n ≥ 1, calculer S(n, 1). b) Vérifier que, si k ≥ 0, on a l'égalité Xfk(X) = fk+1(X) + kfk(X) , et en déduire que, si n ≥ 1, et 1 ≤ k ≤ n S(n + 1, k) = kS(n, k) + S(n, k ? 1) .

  • solution de l'équation différentielle linéaire

  • n∑

  • série entière

  • indice de sommation

  • développement en série entière

  • changement d'indice de sommation dans la première somme


Publié le : mardi 19 juin 2012
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DEVOIR D’ANALYSE N˚2
A remettre dans la semaine du 16 au 20 avril
Nombres de Stirling de deuxiÈme espÈce
Dans l’espace vectorielRn[X]des polynÔmes de degrÉ au plusn, on note f0(X) = 1, f1(X) =Xet, si2kn, fk(X) =X(X1)∙ ∙ ∙(Xk+ 1). On obtient ainsi une base(f0, f1,∙ ∙ ∙, fn)deRn[X]. Il existe alors des nombresS(n, k)(nombres de Stirling de deuxiÈme espÈce) tels que, si0kn, n X n X=S(n, k)fk(X). k=0 1) a) Pour toutn0, calculerS(n,0)etS(n, n). Pour toutn1, calculerS(n,1).
b) VÉrifier que, sik0, on a l’ÉgalitÉXfk(X) =fk+1(X) +kfk(X), et en dÉduire que, si n1, et1kn S(n+ 1, k) =kS(n, k) +S(n, k1).
n1n c) Soit, sin1, la propriÉtÉ(Hn)suivante : « si0kn, on a0S(n, k)2k» . Montrer par rÉcurrence que, pour toutn1, la propriÉtÉ(Hn)est vraie. X S(n, p) n 2) Sip1, on considÈre la sÉrie entiÈrehp(x) =x . n! n=p a) Montrer que la sÉrie converge pour toutxrÉel. Que vauth1(x)? Que vauthp(0)?
b) Montrer que, sip1, la fonctionhp+1est la solution de l’Équation diffÉrentielle linÉaire 0 y(p+ 1)y=hp,vÉrifiant la condition initialey(0) = 0. En dÉduire par rÉcurrence, en rÉsolvant l’Équation diffÉrentielle prÉcÉdente, que, sip1, on a pour toutxrÉel 1 x p hp(x) =(e1). p! x p c) En dÉveloppant(e1)par la formule du binÔme, et en utilisant le dÉveloppement en sÉrie entiÈre de l’exponentielle, montrer que, sin1et1pn, p  X 1p pk n S(n, p) =(1)k . p!k k=1 n p En dÉduire que lorsquentend vers l’infini,pÉtant fixÉ, on aS(n, p). p! X n 3) Sip1, on considÈre la sÉrie entiÈreSp(x) =S(n, p)x . n=p a) Quel est le rayon de convergenceRp? Que vautde cette sÉrieS1(x) ?
b) Montrer que sip2, et|x|<1/pon a la relation En dÉduire la valeur deSp(x).
pxSp(x) +xSp1(x) =Sp(x).
c) En effectuant le produit des sÉries de1/(1x)et1/(12x)trouverS(n,2).
CorrigÉ 1) a) Sin= 0, on dÉduit de l’ÉgalitÉ1 =f0(X), queS(n,0) = 1. Sin1, on Écrit n X n X=S(n,0) +S(n, k)fk(X). k=1 n En remarquant que, sik1, on afk(0) = 0, on dÉduit en calculant le polynÔmeXen 0, que S(n,0) = 0. n X n Par ailleurs, le coefficient deXdans la sommeS(n, k)fk(X)estS(n, n). DoncS(n, n) = 1. k=0 Sin1, on a donc n X n X=S(n,1)X+S(n, k)fk(X), k=2 et commefk(1) = 0sik2, on en dÉduitS(n,1) = 1. b) On a, sik0, fk+1(X) = (Xk)fk(X), donc Xfk(X) =fk+1(X) +kfk(X). n+1 On a deux dÉcompositions possibles deX. Tout d’abord n+1 X n+1 X=S(n+ 1, k)fk(X), k=0 mais aussi n X n+1n X=X×X=S(n, k)Xfk(X), k=0 donc n X n+1 X=S(n, k)(fk+1(X) +kfk(X)) k=0 n n X X =S(n, k)fk+1(X) +S(n, k)kfk(X). k=0k=0 En effectuant un changement d’indice de sommation dans la premiÈre somme n+1n X X n+1 X=S(n, k1)fk(X) +S(n, k)kfk(X) k=1k=0 n X =S(n, n)fn+1(X() +S(n, k1) +kS(n, k))fk(X). k=1 En identifiant les deux dÉcompositions, on en dÉduit, que si1kn, S(n+ 1, k) =S(n, k1) +kS(n, k).
c) On aS(1,0) = 0etS(1,1) = 1, et la propriÉtÉ(H1)est bien vÉrifiÉe (on a des ÉgalitÉs dans ce cas). Supposons que la propriÉtÉ(Hn)est vraie. Donc, si0kn n1n 0S(n, k)2k . Alors, si1kn, n1n n1n 0S(n+ 1, k) =kS(n, k) +S(n, k1)k2k+ 2(k1) n1n+1n1n+1n n+1 2k+ 2k= 2k . n n+1 Par ailleursS(n+ 1,0) = 0etS(n+ 1, n+ 1) = 12 (n+ 1).
Finalement, on a, si0kn+ 1, n n+1 0S(n+ 1, k)2k , ce qui montre que la propriÉtÉ(Hn+1)est vraie.
Il en rÉsulte que la propriÉtÉ(Hn)est vraie pour toutn1.
2) a) On a, sinp, n1n n S(n, p) 2p1 (2p|x|) n n 0≤ |x|| ≤x|=. n!n! 2n! n Mais la sÉrie de terme gÉnÉral(2p|x|)/n!)converge pour toutxrÉel puisque c’est la sÉrie de n l’exponentielle. Il en rÉsulte que la sÉrie de terme gÉnÉralS(n, p)x /n!converge absolument, donc converge, pour toutxrÉel.
En particulier X n x x h1(x) ==e1. n! n=1 Par ailleurs on a toujourshp(0) = 0. b) La fonctionhpest alors dÉrivable surRet ∞ ∞ p X X S(n, p+ 1)x S(n, p+ 1) 0n1n1 h(x) =x= +x . p+1 (n1)!p! (n1)! n=p+1n=p+2 En changeant d’indice de sommation p X x S(n+ 1, p+ 1) 0n h(x+) =x . p+1 p!n! n=p+1 En utilisant la relation de la question 1b), on trouve X p x(p+ 1)S(n, p+ 1) +S(n, p) 0n h(x) =+x p+1 p!n! n=p+1 ∞ ∞ p X X S(n, p+ 1)x S(n, p) n n = (p+ 1)x+ +x n!p!n! n=p+1n=p+1 ∞ ∞ X X S(n, p+ 1)S(n, p) n n = (p+ 1)x+x , n!n! n=p+1n=p 3
ce qui donne l’ÉgalitÉ 0 h= (p+ 1)hp+1+hp. p+1 0 Donchp+1est solution de l’Équation diffÉrentielley(p+ 1)y=hp, et de plushp+1(0) = 0, donchp+1est la seule solution de l’Équation telle quey(0) = 0. 1 x p On montre par rÉcurence la propriÉtÉ(Pn): « pour toutxrÉel,hp(x) =(e1)». p! La propriÉtÉ(P1)est vraie d’aprÈs 2a). Supposons que(Pn)est vraie. Alorshp+1est la solution, nulle en 0, de l’Équation diffÉrentielle 1 0x p y(x)(p+ 1)y(x() =e1). p! 0(p+1)x L’Équation homogÈney(x)(p+ 1)y(x) = 0a pour solutiony(x) =Ke. Si l’on utilise le procÉdÉ de la variation de la constante, on obtient 0 0(p+1)x(p+1)x y(x) =K(x)e+K(x)(p+ 1)e , donc l’Équation 1 0x p y(x)(p+ 1)y(x() =e1), p! devient 1 0(p+1)x xp K(x)e= (e1), p! ou encore 1 0 −(p+1)x xp K(x) =e(e1), p! et finalement 1 0 −xx p K(x) =e(1e). p! x On remarque que siu(x) = 1e, on a 1 0 0p K(x) =u(x)u(x), p! Alors 1 1 p+1x p+1 K(x) =u(x) +C(1e) +C , (p(+ 1)!p+ 1)! Cest une constante, et   1 x p+1 (p+1)x y(x(1) =e) +C e. (p+ 1)! La conditiony(0) = 0imposeC= 0, on obtient finalement 1 1 x p+1 (p+1)x xp+1 hn+1(x(1) =e)e= (e1). (p+ 1)!(p+ 1)! La propriÉtÉ(Pn+1)est donc vraie. Il en rÉsulte que la propriÉtÉ(Pn)est vraie pour toutn1. c) On a p  X 1p pk kx hp(x) =(1)e . p!k k=0
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Puis en utilisant le dÉveloppement en sÉrie entiÈre de l’exponentielle p n n X X 1xp k pk hp(x) =(1). p!k n! k=0n=0 Comme toutes les sÉries convergent surR, on peut intervertir les sommations, et  ! p  X X n 1p x pk n hp(x) =(1)k . p!k n! n=0k=0 Alors, par unicitÉ du dÉveloppement en sÉrie entiÈre, on en dÉduit p  X 1p pk n S(n, p() =1)k , p!k k=0 ou encore, puisque le premier terme est nul, p  X 1p pk n S(n, p) =(1)k . p!k k=1 n En mettantpen facteur  ! p1   n n X p pk pk S(n, p) =1 +(1). p!k p k=1 n Lorsque1kp1, les suites((k/p) )n1convergent vers 0. On en dÉduit donc que  ! p1   n X p k pk lim 1+ (11) =, n+k p k=1 et, lorsquentend vers l’infini, on a donc n p S(n, p). p! 3) a) De l’Équivalent obtenu dans 2d), on dÉduit que la sÉrieSpa mme rayon de convergence n n que la sÉrie gÉomÉtrique de terme gÉnÉralp x. On en dÉduit donc queRp= 1/p.
On a X x n S1(x) =x=. 1x n=1 b) La sÉrie entiÈreSp(x)est de rayon1/pet la sÉrieSp1(x)est de rayon1/(p1), donc la sÉrie pxSp(x) +xSp1(x)est de rayon1/p. Pour|x|<1/p, on a ∞ ∞ X X n n pxSp(x) +xSp1(x) =px S(n, p)x+x S(n, p1)x n=p n=p1 X p n+1 =x+ (pS(n, p) +S(n, p1))x . n=p Mais en utilisant la formule 1b), on obtient ∞ ∞ X X p n+1n+1 pxSp(x) +xSp1(x) =x+S(n+ 1, p)x=S(n+ 1, p)x , n=p n=p1 5
ce qui donne en changeant l’indice de sommation X n pxSp(x) +xSp1=S(n, p)x=Sn(x). n=p On a alors x Sp(x) =Sp1(x), 1px et donc x x Sp(x) =∙ ∙ ∙S1(x). 1px12x On obtient finalement p x Sp(x) =. (1px)∙ ∙ ∙(1x)
c) En particulier 2 x S2(x) =. (12x)(1x) Si|x|<1/2, on a  ! ! ∞ ∞X XX 1 n nn n =x2x=wnx , (1x)(12x) n=0n=0n=0 n X k n+1 wn= 2= 21. k=0 Donc ∞ ∞ X X 2n+1n n+1n+2 S2(x) =x(21)x= (21)x , n=0n=0 ce qui donne, en changeant l’indice de sommation, X n1n S2(x(2) =1)x . n=2 Et donc, sin2, n1 S(n,2) = 21.
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