Devoir Libre n°15 PSI

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Devoir Libre n?15 PSI MATHEMATIQUES ( a rendre Vendredi 12 Fevrier 2010) Dans tout le probleme, E designe le R-espace vectoriel R[X] des polynomes a coefficients reels. Pour tout entier naturel n, on note En le sous-espace de E forme par les polynomes de degre au plus egal a n. Selon l'usage, on convient d'identifier un polynome et la fonction polynomiale associee. L'espace En est muni de sa base canonique Bn = ( 1, X,X2, . . ., Xn ) . Les coefficients binomiaux sont notes (n k ) = n! k!(n? k)! (06 k6n). Partie A : Etude d'un endomorphisme Etant donne un polynome P de E, on definit un polynome ?(P ) par : [?(P )] (X) = ( X2 ? 1 ) P ??(X) + 2XP ?(X). 1) Justifier qu'on a ainsi defini un endomorphisme ? de E. 2) Montrer que, pour tout entier naturel n, le sous-espace vectoriel En est stable par ?. On notera desormais ?n l'endomorphisme de En induit par ? sur En : ?P ? En, ?n(P ) = ?(P ) 3) Dans cette question, on suppose que n est egal a 3.

  • base orthonormee

  • serie entiere

  • ?n ?

  • endomorphismes ?n

  • polynomes lp

  • matrice m3 de ?3 dans la base canonique de e3

  • base de e3 diagonalisant


Publié le : lundi 1 février 2010
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Devoir Libren15 PSI MATHEMATIQUES (a`rendreVendredi12Fe´vrier2010) Danstoutleprobl`eme,Ede´leeisngR-espace vectorielR[Xeitnrse´`scaeocels.psed]emoˆnylo Pour tout entier natureln, on noteEnle sous-espace deEelpsperaro´mfegr´sdedˆomeolynuae pluse´gala`n. Selonlusage,onconvientdidentierunpolynoˆmeetlafonctionpolynomialeassocie´e.   2n L’espaceEnest muni de sa base canoniqueBn= 1, . . ., X, X, X.   n! n Lescoecientsbinomiauxsontnot´es=(06k6n). k k!(nk)! ´ Partie A : Etude d’un endomorphisme ´ Etantdonne´unpolynˆomePdeEenˆompolytinue´no,dnφ(P) par :   200 0 [φ(P)] (X) =X1P(X) + 2XP(X). 1)istJunaoquere´disniadnenuinomorphismeφdeE. 2)Montrer que, pour tout entier natureln, le sous-espace vectorielEnest stable parφ. Onnoterade´sormaisϕnl’endomorphisme deEninduit parφsurEn: PEn, ϕn(P) =φ(P) 3)Dans cette question, on suppose quenga´este.a3l` ´ a) Ecrirela matriceM3deϕ3dans la base canonique deE3. b) Justifierqueϕ3est diagonalisable. c)D´eterminerunebasedeE3diagonalisantϕ3-idsmoeitncoeecsdmeˆoynolpedee´mrof, nants´egaux`a1. 4)nrevOerlertitunadalenune´gsre´ntneiacuanquelconque. a) Montrerque la matriceMndeϕndanslainuqeetsabesaconreaip´suiatrulngteireeeru pr´ecisersescoecientsdiagonaux. b)Ende´duirequeϕniatdes´rpteelbasilanogcesireeldsmineisonsdesessous-espseca propres. ´ PartieB:Etudedunefamilledepolynˆomes Pour tout entier naturelnne´dno,lypoleiteomnˆLnpar n P 12 n nk k Ln(X) =(X1) (X.+ 1) n k 2 k=0 1)esomnˆlypoeselmilpie´suofmrselculersoCaL0,L1,L2etL3. 2)CalculerLn(1) pour toutnN. 3)reim´Dtelrengedede´reLnen fonction den(nN) et donner son coefficient dominant sous la forme d’une somme. 4)En utilisant un changement d’indice, montrer queLnit´eeparmˆemalauqen. 5)rmfoladedeail`ae,re´irVedeluLeibniz, que : n  1 dn 2 nN, Ln(X) =X1 . n n 2n! dX 6)reuiplexEnedd´celtceoticinemeodimeitnedantnLn, puis la relation  n Pn22n nN,= . k n k=0 1
7)Montrer alors que   n   1 +|x| 2n nN,xR,|Ln(x)|6. n 2   n 2 8)uterlde´netineirnta,pourtoOuntnpelonyoˆmel,Un(X) =X1 . a)V´erierque:   20 X1 ( UnX) = 2nXUn(X). b)End´erivantn+ 1fois cette relation, montrer que nN, φ(Ln) =n(n+ 1)Ln. PartieC:D´enitiondunproduitscalaire On pose Z 1 2 (P, Q)E ,hP, Qi=P(x)Q(x) dx. 1 1)reairsuitdualsc´eidnsaironpiunreitsuJanoleuqE. Danstoutelasuiteduprobl`eme,lespaceEet ses sous-espacesEn(nN) serontsyste´matiquementmunisdeceproduitscalaire. 2)quea) Montrer Z 1 2 20 0 (P, Q)E ,hφ(P), Qi= (1x)P(x)Q(x) dx. 1 b)Quepeut-ondired´eduirepourlesendomorphismesϕn(nN) ? c)End´eduire,`alaidedunr´esultatdelapartieBelpsq,eusmeˆoynolLp(pN) sont deuxa`deuxorthogonaux. 3)Soitnun entier naturel. ´ a)Etablirparre´currencesurkque Z k1k nk   (1) dd 2n k[|0, n|],hQ, Lni= [Q(x)] (x1) dx. n knk 2n! dxdx 1 b)Ende´duireque,pourtoutnN,Lnestrotogoh`lanaEn1. c)RetrouverainsiquelespolynoˆmesLp(pNgonarthoeuxox`aduedtnos)xu. 2 ` 4)a) Al’aide deC.3)a), exprimer, pour tout entier natureln,kLnken fonction de Z 1 2n In= (x1) dx. 1 ` b)Alaideduneint´egrationparparties,montrerque 2n+ 2 nN, In+1=In. 2n+ 3 c)Ende´duire,pourtoutnN, une expression deInfaisant intervenir des factorielles. d)Ende´duireque r 2 nN,kLnk= . 2n+ 1 5)Donner, pour tout entier naturelnnohtroesedee´mroneba,uEn. PartieD:Unerelationder´ecurrence Soitnun entier naturel non nul. n+1 1)Calculer le coefficient deXdans (n+ 1)Ln+1(X)(2n+ 1)XLn(X). 2)du´endEteecnetsixelerinulticiede´nel´esr1+αktels que n P (n+ 1)Ln+1(X)(2n+ 1)XLn(X) =αkLk(X). k=0
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hXLn, Lki 3)Montrer quek[|0, n|], αk=(2n.+ 1) 2 kLkk 4)Pour toutk[|0, n2|ire´qreeu],vhXLn, Lki=hLn, XLkipuis montrer queαk= 0. 5)quertronepedsnoitm,e´tiraescoPard´eransidαn= 0. 6)ylˆnmoseuedrseopantlavalEnutilisLksronimrlare,dt1te´eauinpoαn1. 7)queuired´edEnnN,(n+ 1)Ln+1(X)(2n+ 1)XLn(X) +nLn1(X) = 0. PartieE:Fonctiong´ene´ratrice P n Onxeunre´elttenoocsndie`relas´erieenti`eerLn(t)xeed,abrivalalleer´lex. nN   n   P1 +|t| 2n n 1)De´nireetmryondleravergeconers´enieceenladee`iterx. n 2 nN P n 2)Endeuelaroye´udriqeceenrgveonecndRtree`itneeire´saledLn(t)xest strictement nN positif. On donnera une minoration deRt,macale`aas.erullchcennosiparehcre +P n On noteStcettes´erieenti`:erelsamoemedx]Rt, Rt[, St(x) =Ln(t)x n=0 3)eatdtseluel´rsanttiliEnuD.7), montrer queStest solution sur ]Rt, Rt´equation[deldie´rentiellesuivante,dinconnueyfonction dex: 20 (Et) (12tx+x)y(x) + (xt)y(x) = 0 4)Pour|t|<ed´dde,1nelexuiresionpresSt(x) en fonction dex. Partie F : Projection orthogonale, calcul de distance 1)Calculer, pour tout entier naturelkgralnt´e,lie Z 1 k Jk=xdx. 1 ´ 2)esn´uxdeanEtontdrutasleitnensrenetr, tels que 06r6n, on noteprla projection ortho-gonale deEnsur son sous-espace vectorielEr. Donneruneexpressionge´n´eraledepr(Pˆoynoltpourtou,perialacstiudorpeantlilis)utmeP deEn. 3 3)sodee´osmriasOnsuppn= 3 etP=X. a)D´eterminerp0(P),p1(P) etp2(P). b) Calculerles distancesd(P, Ek) dePaux sous-espaces vectorielsEkpour tout entierk tel que 06k62. 4)On noteGa`.1iceocedte3e´rgealegt´aninomtdenneesbmellˆomesdeddespolyn Montrer l’existence de Z 1 2 m= min(Q(x)) dx QG 1 etpre´cisersavaleur,ainsiquelespolynˆomesr´ealisantceminimum.
Findele´nonc´e
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