Devoir Libre n°5 PSI

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Devoir Libre n?5 PSI MATHEMATIQUES ( à rendre Vendredi 22 Octobre 2010) Exercice 1 A la suite de nombres réels (uk)k?N on associe les suites (Pn)n?N et (Qn)n?N définies par Pn = n∏ k=0 (1 ? uk) et Qn = n∏ k=0 (1 + uk). 1. On suppose que (Qn)n?N converge. (a) Montrer que (uk)k?N converge vers 0. (b) En prenant uk = 1k , montrer que la réciproque est fausse. 2. On suppose que uk est positif ou nul pour tout k et que la série de terme général uk converge. (a) Etudier la convergence de la suite (Pn)n?N : on pourra utiliser la fonction logarithme népérien. Montrer que, si la suite (Pn)n?N admet une limite nulle, l'un au moins des termes de la suite (uk)k?N est égal à 1. (b) Etudier la convergence de la suite (Qn)n?N. 3. On suppose toujours les uk tous positifs ou nuls, mais on suppose que la série de terme général uk est divergente. (a) Etudier la convergence de la suite (Qn)n?N. (b) Lorsque de plus tous les uk sont strictement inférieurs à 1, calculer la limite de la suite (Pn)n?N.

  • endomorphisme de cn

  • application identité de cin

  • polynôme

  • ?i ?

  • base canonique de cn

  • compagnon du polynôme p1

  • devoir libre n?5

  • ?21 ?


Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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Exercice 1
Devoir Libren5 PSI MATHEMATIQUES ( À rendre Vendredi 22 Octobre 2010)
A la suite de nombres rÉels(uk)kNon associe les suites(Pn)nNet(Qn)nNdÉfinies par n n Q Q Pn= (1uk)etQn= (1+uk). k=0k=0 1. Onsuppose que(Qn)nNconverge. (a) Montrerque(uk)kNconverge vers 0. 1 (b) Enprenantuk=, montrer que la rÉciproque est fausse. k 2. On suppose queukest positif ou nul pour toutket que la sÉrie de terme gÉnÉraluk converge. (a) Etudierla convergence de la suite(Pn)nN: on pourra utiliser la fonction logarithme nÉpÉrien. Montrer que, si la suite(Pn)nNadmet une limite nulle, l’un au moins des termes de la suite(uk)kNest Égal À1. (b) Etudierla convergence de la suite(Qn)nN. 3. Onsuppose toujours lesuktous positifs ou nuls, mais on suppose que la sÉrie de terme gÉnÉralukest divergente. (a) Etudierla convergence de la suite(Qn)nN. (b) Lorsquede plus tous lesuksont strictement infÉrieurs À1, calculer la limite de la suite (Pn)nN. 4. On suppose dÉsormais que lesuksont de signe quelconque mais que la sÉrie de terme gÉnÉral|uk|est convergente. Etudier la convergence de la suite(Qn)nN. Montrer que, si la suite(Qn)nNadmet une limite nulle, l’un au moins desukest Égal À 1. 5. On suppose dÉsormais que lesuksont de signe quelconque mais que la sÉrie de terme gÉnÉralukest convergente. P 2 (a) Montrerque, si la sÉrieuconverge, alors la suite(Qn)nNconverge et sa limite n est non nulle. P 2 (b) Montrerque, si la sÉrieudiverge, alors la suite(Qn)nNconverge vers 0. n k+1 (1) 6. Dansle cas particulier oÙu0est Égal À 1 et oÙukest Égal À− √pour tout entierk k supÉrieur ou Égal À1, Étudier la convergence de la suite associÉe(Qn)nN.On sera amenÉ À faire un dÉveloppement limiÉ deln(1 +uk).
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Exercice 2 n n Soient(a1, a2,∙ ∙ ∙, an)IKet(b1, b2,∙ ∙ ∙, bn)IKtels que pour tout(i, j), ai+bj6= 0. 1 me On considÈre le dÉterminant d’ordrende la matrice dont le(i, j).coefficient est : ai+bj On noteDnce dÉterminant. 1. CalculerD1etD2. 2. Onsuppose qu’il existei1eti2tels queai1=ai2. Calculer alorsDn. 3. Onsuppose dÉsormais que(a1, a2,∙ ∙ ∙, an)sont deux À deux distincts. (a) Onpose n Q (biX) i=1 R(X) = n Q (X+ai) i=1 n Justifier qu’il existe(λ1, λ2,∙ ∙ ∙, λn)IKtel que λ1λn R(X) =+∙ ∙ ∙+ X+a1X+an (b) DÉterminer,pour touti∈ {1..n}, λiet montrerλi6= 0. (c) Montrerque : 1 1 ∙ ∙ ∙ a1+bna1+bn 1 . . Dn= 1 1 λn ∙ ∙ ∙ an1+b1an1+bn   R(b1)∙ ∙ ∙R(bn) R(bn) (d) EndÉduire que :Dn=Dn1 λn (e) EndÉduireDn.
ProblÈme Soitnun entier supÉrieur ou Égal À2. On dÉsigne parIn, la matrice unitÉ deMn(C). n On considÈre unn-uplet(a0, a1, ..., an1)deCet le polynÔme : n n1 P=X+an1X+∙ ∙ ∙+a1X+a0   0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0a0 . . 1.(0).a1 . . . . 0. .. . On noteCla matrice deMn(C)dÉfinie parC= . . . . . . .. . .. . . .. .   .(0). .0an2 0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0 1an1 On dit queCest la matrice compagnon du polynÔmeP. n On noteB0= (e1, . . . , en)la base canonique deC. n n On noteIdl’application identitÉ deICet on appellefl’endomorphisme deICtel queCsoit la matrice associÉe Àfrelativement À la baseB0. 0k+1k On notef=Idet, pour tout entier naturelk,f=ff. 1. (a)Exprimer, pour touti[1, n1]],f(ei)en fonction deei+1. j n (b) EndÉduire :j[1, n1]], f(e1) =ej+1etf(e1) =(a0e1+a1e2+∙ ∙ ∙+an1en). n nn1 2. Soitgl’endomorphisme deCdÉfini parg=f+an1f+∙ ∙ ∙+a1f+a0Id. (a) VÉrifier:g(e1) = 0.
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i i (b) Montrer:iN, gf=fg. (c) EndÉduire :i[1, n]], g(ei) = 0. (d) Montrerque le polynÔmePest annulateur de l’endomorphismef. 5 32 Application 1 :DÉterminer une matriceAM5(C)telle queA=A+ 2A+I5. (e) Etablirque toutes les valeurs propres deCsont des racines du polynÔmeP. n1 3. (a)SoitQ=α0+α1X+∙ ∙ ∙+an1Xun polynÔme non nul et de degrÉ infÉrieur ou Égal Àn1. n n1 On noteQ(f)l’endomorphisme deCdÉfini parQ(f) =α0Id+α1f+∙ ∙ ∙+αn1f. CalculerQ(f)(e1). (b) EndÉduire qu’il n’existe pas de polynÔme non nul, de degrÉ infÉrieur ou Égal Àn1 et annulateur def. (c) Quelest alors le polynÔme minimal def? (d) Soitλune racine du polynÔmeP. Il existe donc un unique polynÔmeRC[X]tel queP= (Xλ)R. n ˜ ˜ VÉrifier que(fλId)R(f) = 0, oÙ0est l’endomorphisme nul deC. (e) Conclureque toutes les racines du polynÔmePsont des valeurs propres deC. (f) Donneralors le polynÔme caractÉristique deC. 4. (a)Montrer que, pour tout nombre complexex, la matrice(CxIn)est de rang supÉrieur ou Égal Àn1. En dÉduire que chaque sous-espace propre deCest de dimension1. (b) EndÉduire queCest diagonalisable si et seulement siPadmetnracines deux À deux distinctes.   0 0 0 1 1 0 0 0   5. (a)Montrer que la matriceA1=deM4(C)est diagonalisable.   0 1 0 0 0 0 1 0   0 0 04 1 0 08   (b) Montrerque la matriceA2=deM4(C)n’est pas diagonalisable.   0 1 03 0 0 12 t 6. OnnoteB=Cla matrice transposÉe deC. (a) Montrerque, pour tout nombre complexet, la matrice(BtIn)est inversible si et seulement si la matrice(CtIn)est inversible. (b) EndÉduire que les matricesBetCont les mmes valeurs propres. (c) Soitλune valeur propre deB. DÉterminer une base du sous-espace propre deB associÉ Àλ. (d) Onsuppose que le polynÔmePadmetnracinesλ1, ..., λndeux À deux distinctes. Mon-  1 1∙ ∙ ∙1 λ1λ2∙ ∙ ∙λn 2 22 λ λ∙ ∙ ∙λ trer queBest diagonalisable et en dÉduire que la matriceV=1 2n     . .. n1n1n1 λ λ∙ ∙ ∙λ 1 2n est inversible. 7. SoitEunC-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme deEadmettantn valeurs propresµ1, ..., µndeux À deux distinctes. L’endomorphismeuest donc diagonalisable et on noteE= (e1, ..., en)une base deE constituÉe de vecteurs propres deurespectivement associÉs Àµ1, ..., µn.   n1 (a) Soita=ε1+ε2+∙ ∙ ∙+εn. Montrer que la familleBa=a, u(a), ..., u(a)est une base deE. n n1 (b) Montrerqu’il existe un polynÔmeP1=X+bn1X+∙ ∙ ∙+b1X+b0tel que la   n1 matrice associÉe Àurelativement À la baseBa=a, u(a), ..., u(a)soit la matrice compagnon du polynÔmeP1.
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