Devoir Libre n PSI

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page 1 Devoir Libre n?18 PSI MATHEMATIQUES ( rendre le 26 Mars 2010) L'usage de calculatrices est interdit Partie 1 Question 1. On appelle ? la fonction de R dans R, paire et periodique de periode 2pi, definie par : ? ?? ?? ?x ? [ 0, pi 2 ] , ?(x) = pi2 4 ? x2 ?x ? [pi 2 , pi ] , ?(x) = ( x? pi 2 )( x? 3pi 2 ) 1.1. Tracer les graphes des fonctions ? et ?1, derivee de la fonction ?. 1.2. Determiner la serie de Fourier associee a la fonction ?1. Etudier sa convergence. Question 2. En deduire la serie de Fourier associee a la fonction ? et celle de ? definie par : ?x ? R,?(x) = ∫ x 0 ?(u) du. Etudier la convergence de ces series. La suite du probleme consiste a rechercher les fonctions U de classe C0 sur ? = [0, pi] ? R+ et C2 sur [0, pi]? R?+ et verifiant les conditions suivantes : (P ) ? ????? ????? ?(x, t) ? [0, pi]? R?+, ∂2U ∂x2 (x, t) = ∂U ∂t (x, t) (1) ?t ? R+, U(0, t) = U(pi,

  • dite solution du probleme

  • dk ∂rk

  • definies sur ?

  • serie de fourier associee

  • solution du probleme

  • devoir libre n?18


Publié le : lundi 1 mars 2010
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Devoir Libren18 PSI MATHEMATIQUES ( rendre le 26 Mars 2010)
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L’usage de calculatrices est interdit Partie 1 Question 1. On appelleθla fonction deRdansRaprieeptedoi,2uedep´er´eriodiqπne´apeir:d, h i2 π π 2 x0θ, ,(x) =x 2 4  h i  π π3π x, θ, π(x) =xx2 22 1.1.Tracer les graphes des fonctionsθetθ1viredee´faletcnoiond´,θ. 1.2.itcnofalnossraieur`aeei´ocnireal´sreeiedoFD´etermθ1. ´ Etudier sa convergence. Question 2. Ende´duirelase´riedeFourierassoci´ee`alafonctionθd´eniepcelledeΦte:ra Z x xR,Φ(x) =θ(u)du. 0 ´ Etudierlaconvergencedecess´eries. 0 Lasuiteduprobl`emeconsistea`rechercherlesfonctionsUde classeCsur Ω = [0, π]×R+et 2Csur [0, π]×Ronsctidissonvauisetn:evte´iratnel + 2 ∂ U∂U (x, t)[0, π]×R,(x, t() =x, t) (1) + 2 ∂x ∂t tR+, U(0, t) =U(π, t(2)) = 0 (P) x[0, π],limU(x, t(3)) = 0 t+x[0, π], U(x,0) = Φ(x) (4) Une fonctionUosulidetudrpitno,(3),(2))estet(4alererta)1(snoitierv´questlanl`obeem (P). Lesparties2et3sontind´ependantes. Partie 2. Onseproposedechercherdessolutionsdele´quationdi´erentielle(1)souslaformedefonctions V´dr:inesuesparΩ (x, t)Ω, V(x, t) =g(x).h(t) 2 2 o`ugsetlulneedfeoclnctionr´eesaesCsur [0, π] ethontieer´neuncfoessdellalceCsurR+.
Question 1.
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1.1.Montrer que si les fonctionsgethelles:´reneittaoisnidnoitulosuqe´sedsntso 00 g(x)µg(x) = 0 0 h(t)µh(t) = 0 o`uµonnctilafoolsreua,ocqnuqlenrtuel´eesV: (x, t)7→V(x, t) =g(x).h(teri´e)v (1). 1.2.Trveouourtslteosseituldsnoe´sequationsdi´erenitleelps´rcee´ed.esnt 21.3.On prendµ=k,kNete´D.erunrmintedeesuiitnoofcn(sVk)kN:
Vk: ΩR (x, t)7→Vk(x, t) =gk(x).hk(t) v´eriant(1),(2)et(3). Question 2. Soit H: ΩR +X 2 k t (x, t)7→H(x, t) =dksin (kx)e k=1
et pourkN,
Rk: ΩR 2 k t (x, t)7→Rk(x, t() = sinkx)e .
Ilsagitdede´terminerlescoecients(dk)kNpour que la fonctionHsoit solution du proble`me(P). ` 2.1.lAdialede(stneioeclescinertermd,e´(n)4taoiraledk)kN. 2.2.Montrer qu’alors, la fonctionHtropa`apelparrd´erivabdeuxfoisetsxet une fois parrapport`atavec : 2 +2 ∂ HP∂ Rk (x, t)[0, π]×R+,(x, t) =dk(x, t) 2 2 ∂x ∂x k=1 +P ∂H ∂Rk et(x, t)[0, π]×R,(x, t) =d(x, t). +k ∂t ∂t k=1 2.3.(eme`lborpudnTorvurenuselotuoiP).
Partie 3 Question 1.   0 2On noteE=ω,Csur Ω etCsur [0, π]×Rtelle queωvire´(1e),(2),(3) etx[0, π], ω(x,0) = 0. +
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1.1.Montrer queEest un espace vectoriel surR. 1.2.Prouver que siuetvdsnoitulostnosorpue`lb(emP), alorsuvE. Question 2. SoitωE. Z π ∂ ∂ω 2.1.Calculer, pour touttR+il,e:large´tnω(x, t) (x, t)dx. ∂x ∂x 0   Z2Z π π2 ∂ω1(ω) 2.2.eduiEnd´e:requtR+,(x, t)dx+ (x, t)dx= 0. ∂x2∂t 0 0 2.3.On note ψ:RR  ! Z Z  T π2Z Z   T π ∂ω ∂ω T7→ψ(T() =x, t)dx dt+ω(x, t) (x, t)dx dt ∂x ∂x 0 00 0 0 Montrer queψest nulle surR+. (On pourra, pourTR+, calculerψ(T)). Z π 2 End´eduirequeTR+, ω(x, T)dx= 0. 0 2.4.rerteuqD´emonEne contient que la fonction nulle. 2.5.bienComme(ebo`lelrpPolesld-i-tde`ess)op?snoitu
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