Devoir Libre n PSI

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Devoir Libre n?1 PSI MATHEMATIQUES (à rendre le 6 septembre 2011) Exercice 1 : 1. Montrer que, si une suite (xn)n?IN est convergente, la suite (x2n?xn)n?IN converge vers 0. 2. On définit la suite (Sn)n?IN par : Sn = n∑ k=1 1 k (a) Montrer que ?n ? IN, S2n ? Sn ≥ 1 2 . (b) En déduire que (Sn)n?IN diverge vers +∞. 3. Montrer que : ?k ≥ 2, ∫ k+1 k 1 t dt ≤ 1 k ≤ ∫ k k?1 1 t dt 4. En déduire un encadrement de Sn pour tout n ≥ 1. 5. En déduire un équivalent de Sn. 6. On considère les suites (an)n?IN et (bn)n?IN définies par : ? ??? ??? an = n∑ k=1 1 k ? ln(n) bn = n∑ k=1 1 k ? ln(n+ 1) (a) En utilisant la concavité de la fonction ln, montrer que : ?x > ?1, ln(1 + x) ≤ x. (b) Montrer qu'elles sont adjacentes. (c) En déduire qu'il existe ? ? IR tel que : Sn = ln(n) + ? + o(1) (d) Justifier : ?n ≥ 1, bn ≤ ? ≤ an.

  • question précédente avec la fonc- tion ?

  • ir4

  • ?n ≥

  • ?1 ?

  • classe c∞ sur r?

  • tangente au point d'abscisse


Publié le : jeudi 1 septembre 2011
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Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 3
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Devoir Libren1 PSI MATHEMATIQUES (À rendre le 6 septembre 2011)
Exercice 1: 1. Montrerque, si une suite(xn)nINest convergente, la suite(x2nxn)nINconverge vers 0. n X 1 2. OndÉfinit la suite(Sn)nINpar :Sn= k k=1 1 (a) MontrerquenIN, S2nSn. 2 (b) EndÉduire que(Sn)nINdiverge vers+. Z Z k+1k 1 11 3. Montrerque :k2, dt≤ ≤dt t kt k k1 4. EndÉduire un encadrement deSnpour toutn1. 5. EndÉduire un Équivalent deSn. 6. OnconsidÈre les suites(an)nINet(bn)nINdÉfinies par : n P1 an=ln(n) k k=1 n P1 b=ln(n+ 1) n k k=1 (a) Enutilisant la concavitÉ de la fonction ln, montrer que :x >1, ln(1 +x)x. (b) Montrerqu’elles sont adjacentes. (c) EndÉduire qu’il existeγIRtel que : Sn= ln(n) +γ+o(1) (d) Justifier:n1, bnγan. (e) Ecrireune procÉdure Maple permettant de calculer une valeur approchÉe deγÀ une 3 prÉcisionadonnÉe. Donner une valeur approchÉe deγÀ10prÈs.
Exercice 2: 1. RÉsoudredansRl’Équation :t+ sint= 0. 2. Pourtout rÉelttel quet+ sint6= 0, on pose : 1 ψ(t) =. t+ sint 2x R Montrer que l’intÉgraleψ(t)dtest dÉfinie pour toutxR. x On noteraf(x)sa valeur. L’objet de ce problÈme est l’Étude de la fonctionfassociÉe, dÉfinie surR. 3.Question pour les 5/2: Soitx0>0. La fonctionψest-elle intÉgrable sur]0, x0]? 4. Etudierla paritÉ def. ∞ ∗0 5. Montrerquefest de classeCsurR, et calculerf(x)sous forme factorisÉe pourx >0. 6. EndÉduire le sens de variation defsur]0,+[.
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7. Oncherche À Étudier le comportement defau voisinage de+. (a) Montrerque, pour toutx >0, 2x2x Z Z dt dt f(x)6. t t(t+ sint)   x x t (b) Montrerqu’il existem >0tel que, pour toutt>m, on ait :t+ sint>. 2 t+ sint Indication : utiliser la limite en+de. t (c) EndÉduire quef(x)admet une limite finie quandxtend vers+. 8. Oncherche À Étudier le comportement defau voisinage de0. (a) Montrerqu’il existe deux rÉelsaetbtels que 1a = +bt+o(t) t+ sint t au voisinage de0. (b) Soitgune fonction de]0,+[dansRtelle quelimg(t) = 0. Montrer que + t0 lim sup|g(t)|= 0. + x0 t[x,2x] Indication : traduire l’hypothÈse avec "les epsilon". (c) EndÉduire que sihest une fonction continue de]0,+[dansRtelle queh(x) =o(x) 2x R 2 au voisinage de0, alorsh(t)dt=o(x)au voisinage de0. x Indication : montrer queh(t) =(t)puis utiliser la question prÉcÉdente avec la fonc-tionε. (d) Montrerquefadmet au voisinage de0un dÉveloppement limitÉ À l’ordre2que l’on dÉterminera. (e) Montrerquefpeut se prolonger en0en une fonction dÉrivable (on notera encoref 0 ce prolongement), et dÉterminerf(0)etf(0). (f) Quelleest, au voisinage de0, la position de la courbe reprÉsentative defpar rapport À sa tangente au point d’abscisse0? 0 (g) DÉterminer un Équivalent simple def(x)au voisinage de0. Par quel thÉorÈme retrouve-t-on la dÉrivabilitÉ defen 0? . 00 (h) EndÉduire quefest deux fois dÉrivable en0, et calculerf(0). 9. DÉterminerle tableau de variations defsurR.
Exercice 3:Calculer les intÉgrales suivantes : Z a x π π 1.dxaveca],[. 2 2 cos(x) a Z π 2.xsin(x)dx(on pourra utiliser un changement de variable). 0 Z 1 p 2 3.x1 +x dx(on pourra utiliser un changement de variable). 0
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Exercice 4: On considÈre ici l’espace vectoriel rÉelE=M4(IR)muni de ses lois usuelles, et qui est 4 aussi muni du produit matriciel notÉ×. On note, pour(x, y, z, t)IR,diag(x, y, z, t) =   x0 0 0 0y0 0   4 . On noteI=diag(1,1,1,1).IRest muni de son produit scalaire canonique.   0 0z0 0 0 0t 1. DÉmontrerqueEest de dimension finie : Donner une base et sa dimension. 2. SoitKEdont tous les coefficients valent 1. (a) Quelest le rang deK? Donner la dimension de son noyau, puis une base de celui-ci. 4 (b) MontrerqueKer(K)Ker(K4I) =IR. 11 (c) Montrerqu’il existePO4(IR),K=P diag(0,0,0,4)P. ExpliciterPetP. 2 (d) SoitM=xI+yKavec(x, y)IR. Donner une matrice diagonale semblable ÀK. 2 (e) DÉmontrer queF={xI+yK/(x, y)IR}est un sous espace vectoriel deEet dÉterminer sa dimension. VÉrifier queFest stable pour×, c’est-À-dire : siM, NF, alorsM NF. n(f) SoitMF. CalculerMpour toutnIN. DÉterminer À quelle conditionMest 1 inversible, et exprimerMen fonction dex, y, I, K.   1 1 10− √ 2 2 1 1 0− √1 2 2 3. SoitA= 1 1 0− √1− √ 2 2  1 1 − √1− √0 2 2 2 32 3 (a) CalculerAetA. La famille(, AA, A)?est-elle libre (b) Quelest le rang deA? (c) Pourles 5/2 :Aest-elle semblable ÀJ=diag(1,1,0,0)? (d) Montrer queAest semblable Àdiag(2,2,0,0).Indication : considÉrer l’endomor-4 4 phisme deIRcanoniquement associÉ ÀAet trouver une nouvelle base deIRdans laquelle sa matrice estdiag(2,2,0,0). (e) MontrerqueΨ :M7AMM Aest un endomorphisme deE. (f) DÉmontrerqueC={ME/AM=M A}est un sous espace vectoriel deE. 4 4 (g) SoitMCetgson endomorphisme deIRassociÉ dans la base canoniqueb0deIR. On notef∈ L(E)tel queM atb0(f) =A i. MontrerqueλI,Rg(ker(fλIdE))ker(fλIdE). 1 ii. OnnoteA=P diag(2,2,0,0)PPGL4(IR).   a0 0 0 0b0 0 0 −10   DÉmontrer queM=P MPMavecest de la forme   0 0c d 0 0e f 6 (a, b, c, d, e, f)IR. iii. Donnerla dimension deC 2 iv. Etudiers’il peut existerMEtelle queM=A (h) Donnerla matrice deΨdans la base canonique deE. Quel est le rang deΨ? Donner deux mÉthodes de justification.
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