Devoir Libre n˚ PSI

Publié par

Devoir Libre n˚ 17 PSI a rendre le 30 Mars 2012 Soit (L) l'equation differentielle : y??(x)? y(x) = b(x), definie sur [0, 1], ou b et y sont des fonctions definies sur [0, 1] a valeurs dans R, b continue et y de classe c2 et (L0) l'equation differentielle homogene associee : y??(x)? y(x) = 0. Partie I : Expression des solutions de (L). 1. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (L0) ? En donner une base. 2. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (L) ? 3. Verifier que la fonction h : x ? [0, 1] 7? h(x) = ∫ x 0 sh(x ? t)b(t)dt est une solution de l'equation differentielle (L). ( Rappel : pour tout reel z, sh(z) = ez ? e?z 2 et ch(z) = ez + e?z 2 ) . 4. En deduire que les solutions de (L) s'ecrivent sous la forme : ?x ? [0, 1], y(x) = Ach(x) +Bsh(x) + h(x) ou A et B sont des constantes reelles.

  • endomorphisme auto-adjoint

  • allure de la representation graphique de ?

  • unique solution

  • equation differentielle

  • coefficients de fourier de ?

  • ?f ?

  • calcul de la norme de l'endomorphisme ?


Publié le : jeudi 1 mars 2012
Lecture(s) : 90
Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
Devoir Libre n˚17 PSI `arendrele30Mars2012
00 Soit (Llle:ntiel)uqe´oitaidnere´y(x)y(x) =b(x0r[su)neid,e´,1]`u,obety 2 sontdesfonctionsd´eniessur[0,sdans]1`avaleurR,bcontinue etyde classecet 00 (L0neit´renoidauiteassg`enhomoelle:ee´ico)leq´y(x)y(x) = 0. Partie I : Expression des solutions de(L).
1. Quelle est la structure de l’ensemble des solutions de (L0) ?En donner une base. 2. Quelleest la structure de l’ensemble des solutions de (L) ? R x 3.Ve´rierquelafonctionh:x[0,1]7→h(x) =sh(xt)b(t)dtest une 0 solutiondele´quationdie´rentielle(L). zz zz   ee e+e Rappel:pourtoutr´eelz,sh(z) =etch(z) =. 2 2 4.Ende´duirequelessolutionsde(Le:)s´ecirevtnossualofmr x[0,1], y(x) =Ach(x) +Bsh(x) +h(x) ou`AetBdtsesno.seeellesr´tantcons 5. Soientαetβd.lseer´esbromxneu s(0) =αsh(1) Prouver l’existence d’une unique solutionsde (L)etre´vanit: s(1) =βsh(1) On admettra que la fonctionsest la fonction : Z 1 s:x[0,1]7→αsh(1x) +βsh(x)H(x, t)b(t)dt 0 o`uHnoededxuavirbaelestlafoncti:rapeine´ds 2 [0,1]R ( 1 H:sh(1x)sh(t) sit6x sh(1) (x, t)7→H(x, t) = 1 sh(x)sh(1t) sit>x sh(1) R 1 2 2 et que la fonctionx7→H(x, t)b(t)dtest de classecsur [0,1] . 0
1
Partie2:D´eveloppementens´eriedeFourierdelafonctionH. On fixexdans [0,1] et soitϕriod-p´ere,2mpaioiinnotclfa0[ruseine´d,euqi,1] par : ( sh(1x) sh(t) si06t6x sh(1) t[0,1], ϕ(t) = sh(x) sh(1t) six6t61 sh(1) 1.Donnerunealluredelarepre´sentationgraphiquedeϕsur [2,2] dans le cas    1 31 ou`x= avecsh(1)'1,2,sh'0,8 etsh'0,25. 4 44 2. Calculerles coefficients de Fourier deϕ. 3.Las´eriedeFourierdeϕ? Justifiez votreVers quelle fonctionconverge-t-elle ? r´eponse. +X sin(πnx) sin(πnt) 2 4.Ende´duireque:(x, t)[0,1] ,H(x, t) = 2 2 2 n π+ 1 n=1
Partie3:Etudedunendomorphismeauto-adjointde´niparH. 0 SoitE=C([0,1],R) muni du produit scalaire suivant : Z 1 2 (f1, f2)E ,(f1|f2) =f1(t)f2(t)dt 0 dontlanormeassoci´eeestnot´ee|| ||. SoitΨlapplicationquia`toute´l´ementfdeEassocie Ψ(f):´dperaein Z 1 x[0,1],Ψ(f)(x) =H(x, t)f(t)dt 0 1.V´erierqueΨestunendomorphismedeE. 2. Justifierque, pour toute applicationftrnepaapaant`Eet pour toutxappar-tenanta`[0,1], +Z  1 X sin(πnx) Ψ(f)(x) = 2f(t) sin(πnt)dt 2 2 n π+ 10 n=1 3.Donnerlade´nitiondunendomorphismeauto-adjoint(ousyme´trique)deE. Prouver que Ψ est un endomorphisme auto-adjoint deE. 4.Ve´rierque:fE,(Ψ(f)|f)0. 5. SoituEtel que (Ψ(u)|u) = 0. Z 1 5.1V´erierque:nN,u(x) sin(πnx)dx= 0 0 5.2 SoitFrlafdnoitcnouseine´Reletquleioerqudi:eaimp,ip´2-etre u(x) six]0,1] F:x(0,1]7→F(x) = 2 six= 0 oux= 1 Exprimer les coefficients de Fourier defen fonction deu. Z 1 2 End´eduireque:u(x)dx= 0. 0 2
5.3 Prouveralors que : Pour toute fonctionvionnonct,(Ψ(ullee´erdilefatndev)|v)>0. 5.4Quelr´esultatpeut-onenconclurepourlesvaleurspropresdeΨ? 6. PourmN, soit la fonctionfme´d:par:nie x[0,1], fm(x) = sin(πmx) Z 1 6.1 Soientpetqsin(deux entiers naturels non nuls. Calculer :πpx) sin(πqx)dx. 0 6.2D´eterminer,pourmN, Ψ(fm). 7. Soitλune valeur propre de Ψ etfλorrpueprevtcnue.oci´eass 2 7.1 Prouverquefλest de classecsur [0,1].  001 y(x)1y(x) = 0 λ 7.2V´erierquefλeml`e:etsosulitnoudrpboy(0) = 0 y(1) = 0 7.3 Prouverqu’il est impossible queλ= 1. 1 7.4 Prouverqu’il est impossible que 1>0. λ 1 1 7.5 Lorsque1<0, montrer qu’il existemNtel que :λ= . 2 2 λ mπ+ 1 7.6De´termineralorslese´le´mentspropresdeΨ.
Partie 4 : Calcul de la norme de l’endomorphismeΨ.
1.D´eterminer,pourmN,||fm||. fm On pose alors, pour toutmN,hm= . ||fm|| 2.V´erierque: 2.1 +X (hm|f) fE,Ψ(f) =hm. 2 2 m π+ 1 m=1 2.2 +X 2 2 fE,||f||= (hm|f). m=1 3.Ende´duireque: 2 ||f|| 2 fE,||Ψ(f)|| ≤. 2 2 (π+ 1) 4. Prouverque Ψ est un endomorphisme continu de (E,|| ||). 5. Enfin,calculer :sup||Ψ(f)||. ||f||=1
Finduproble`me.
3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.