Devoir Libre n PSI

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Devoir Libre n?13 PSI MATHEMATIQUES (a rendre le 29 janvier 2010) Calculatrices interdites. On rappelle que la fonction ? est definie pour tout reel z > 0 par ?(z) = ∫ +∞ 0 tz?1e?t dt Cette fonction possede les deux proprietes suivantes : - pour tout reel z > 0, ?(z + 1) = z?(z) ; - il est admis que ∫ 1 0 u??1(1? u)??1 du = ?(?)?(?) ?(? + ?) , pour tous reels ? > 0 et ? > 0. I. Fonctions hypergeometriques. 1. Soit z un reel strictement positif. Determiner des conditions necessaires et suffisantes sur les reels ? et ? pour que la fonction t 7? t??1(1 + t)??1e?zt soit integrable sur R?+. 2. Soit z un reel strictement positif. Determiner des conditions necessaires et suffisantes sur les reels ? et ? pour que la fonction t 7? (?t)??1(1 + t)??1e?zt soit integrable sur ]? 1, 0[. On fixe maintenant deux reels ? > 0 et ? > 0 et on definit les fonctions K(z) = ∫ +∞ 0 t?(1 + t)?e?zt dt I1(z) = ∫ +∞ 0 t??1(1 + t)?e?zt dt I2(z) = ∫ +∞ 0 t?(1 + t)??1e?zt dt

  • solution du meme systeme

  • solution generale du systeme differentiel

  • meme equation

  • equation differentielle

  • relation de chasles

  • determiner des conditions necessaires

  • polynome de degre ?

  • theoreme de convergence dominee


Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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Source : cpge-brizeux.fr
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Devoir Libren13 PSI MATHEMATIQUES (a`rendrele29janvier2010) Calculatrices interdites. OnrappellequelafonctionΓestde´niepourtoutre´elz >0 par Z +z1t Γ(z) =t edt 0 Cettefonctionposse`delesdeuxpropri´ete´ssuivantes: -pourtoutr´eelz >0, Γ(z+ 1) =zΓ(z) ; - ilest admis que Z 1 Γ(α)Γ(β) α1β1 u(1u)du=, Γ(α+β) 0 pourtousr´eelsα >0 etβ >0. I.Fonctionshyperg´eom´etriques. 1. Soitzntsasuessereutsece´iassitidnsnolrsernuirtslee´mrnie´etcsnoreedentpctemif.Dosit r´eelsαetβpour que la fonction α1β1zt t7→t(1 +t)e soitinte´grablesurR. + 2. Soitzssce´esntssereaisetnasuselruseimteifnrtipcotsteelrsmt.nDr´´eeedcusnireitnonoid r´eelsαetβpour que la fonction α1β1zt t7→(t) (1+t)e soitinte´grablesur]1,0[. Onxemaintenantdeuxr´eelsα >0 etβ >e´dnote0nsioctonsfleitn Z +α βzt K(z) =t(1 +t)e dt 0 Z +α1βzt I1(z) =t(1 +t)e dt 0 Z +α β1zt I2(z) =t(1 +t)e dt 0 pourtoutre´elstrictementpositifz. ntcontinˆumentd´R 3. MontrerqueI1etI2surso erivables+et que 0 0 =KetI= I1 2K+I2(E) 4. MontrerquezK=αI1+βI2.   I1(z) 5.End´eduirequelevecteurI(zolutests=)iaerusrllie´ein´eintre`tsydemednoisnuI2(z) R: + 0 I(z) =A(z)I(z) (S) o`uA(z) est une matrice que l’on explicitera. 6. MontrerqueKsatisfait surRi´eiondquatne´ee´ialenieillertnoelque2drordre.areticilpxenu +
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Ond´enitlesfonctions Z 0 α βzt L(z) =(t) (1+t)e dt 1 Z 0 α1βzt J1(z) =(t+) (1t)e dt 1 Z 0 α β1zt J2(z) =(t+) (1t)e dt 1 7. Montrer que les fonctionsJ1, J2, LmsenteatcvitmioenssrsemlˆaetenstpleeqiusefroI1, I2, K   J1 de´niesdansl´equation(E), que le vecteurJeitnlysesemt`iedre´etsosulitnoudˆmme=e J2 queI(voir (S)) et queLueqelleitnere´idnatio´equˆemetlamfsiaasitKla`aeev´outr(uqseitno 6). II.Re´solutionde(S). 8. Montrerque pour toutt >0 etz1  β1 t β2 t|β1|(1 +t),siβ2 z 1 +1t z|β1|,siβ2 z 9.End´eduirequepourtousr´eelsα >0,β >0 Z +α1β1zt t(1 +t)e dt 0 α est´equivalenta`Γ(α)zquandztend vers +iradt`esc,qeeu Z  +α1β1ztαα t(1 +t)e dtΓ(α)z=o(z) 0 quandztend vers +. 10.Montrer,pourtousr´eelsα >0 etβ >´eel0etpourtoutrz:e,ldineit´t Z Z 1/2z/2 u α1β1zt zβ β1α1u (t+) (1t)e dt=e zu(1)e du z 1 0 zβ 11.End´eduirequecetteinte´graleeste´quivalente`aΓ(β)e zquandztend vers +. 12.End´eduireque Z 0 α1β1zt (t+) (1t)e dt 1 zβ est´equivalente`aΓ(β)e zquandztend vers +. Pourtousr´eelsα >0,β >0,z >,o0´endksnoneitinrWel   I1(z)J1(z) w(z) = det I2(z)J2(z) 13.Donnerun´equivalentdew(z) quandztend vers +. 14. Montrerquewfsiaasitenutuqe´oitaidnre´eientelll´einiaerdrord1euqleonexplicitera. αβ z 15.Montrerque,pourtoutr´eelzstrictement positif,w(z) = Γ(α)Γ(β)z e. 16.Exprimerlaformedunesolutionge´n´eraledusyste`medie´rentiel(S).
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III.De´veloppementens´erie. 17. Montrerque siβest un entier strictement positif Z +α1β1ztαβ+1 t(1 +t)e dt=z P(z) 0 ou`P(z´edemegrdelopnoˆny)utseβ1 en la variablezitera.Poonexplicq,eullee´rtuotrux et tout entier positifn, on pose n1 Y (x, n() =x+k) k=0 pourn >0 et (x,0) = 1. 18. Soientaetbqseudrxuelee´s.Onsupposedeplubnetsapusenelreluclnoyar´ernientCaf.tiga deconvergencedelase´rieentie`redetermege´ne´ral (a, k) uk= k!(b, k) Onnotealorspourtoutr´eelx X (a, k) k F(a, b, x) =x k!(b, k) k=0 19.Montrerpourtoutr´eelstrictementpositifz´,elsundteitite:ivan Z 0 Γ(α)Γ(β) α1β1zt (t) (1+t)e dt=F(α, α+β, z) Γ(α+β) 1 20. Montrerdirectement (sans utiliser la partieI) que la fonctiony(x) =F(a, b, x) est solution sur Ratqu´eldeevantesuieillertnie´oidn 00 0 xy(x) + (bx)y(x)ay(x) = 0 0 01b0 0 21. Montrerque sibeer´esrdlsuttrouveier,onpeapusentnnetsaetbtels quey(z) =z F(a , b , z) soit solution surRre´itneelle.emmˆeqe´tiuadionedal +
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Quelques indications I.Fonctionshyperg´eom´etriques. 4. Ilfaut penserune I.P.P. 7.Onraisonnecommedanslesquestionsde3a`5. II.Re´solutionde(S). 8.Appliquerline´galit´edesaccroissementsnis. 9.Ecrireladi´erencesousformeduneinte´grale,proce´derauchangementdevariableu=ztet utiliserlaquestionpre´ce`dente. 11.Utiliserlacaract´erisations´equentielleetleth´eore`medeconvergencedomin´ee. 12.UtiliserlarelationdeChaslespuis10,apre`savoire´tablique: Z 0 z α1β1zt z (t+) (1t)e dt=O(e) =o(e) 2 1 2 III.De´veloppementens´erie. 17.UtiliserlaformuledubinoˆmedeNewton 18.Utiliserlede´veloppementense´rieentiredelexponentiellepuisunthe´or`emeducourssur linte´grationsurunintervallequelconque.
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