Devoir Libre n PSI

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Devoir Libre n?8 PSI MATHEMATIQUES ( a rendre le 27 Novembre ) Exercice 1 1) Etude d'une fonction On pose f la fonction definie par : ?x ?]? 1,+∞[, f(x) = 2x 1 + x ? ln(1 + x) a) Montrer que l'equation f(x) = x admet exactement une solution c > ?1. b) Montrer que : ?x > ?1, f(x) ≤ x. 2) Etude d'une suite recurrente On considere la suite recurrente u = (un)n?N, definie par ? ? ? u0 ?]? 1,+∞[ ?n ? N, un+1 = f(un) = 2un 1 + un ? ln(1 + un) a) On pose I = [0, 1]. Montrer que I est stable par f . b) Soit u0 ? I fixe. Montrer que la suite u est bien definie, et que ?n ≥ 0, un ? I. c) Demontrer que la suite u converge vers une limite . d) Determiner la valeur de . 3) Etude d'une serie numerique Soit la serie numerique ∑ n≥1 f ( 1 n ) . On pose Sn = n∑ k=1 f ( 1 k ) .

  • comparaison des convergences des series ∑

  • sk?1 avec la convention s?1

  • ?n ?

  • convergence de la serie ∑

  • combinaison lineaire des sommes sk

  • devoir libre n?8


Publié le : lundi 18 juin 2012
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1) Etuded’une fonction
Devoir Libren8 PSI MATHEMATIQUES (`arendrele27Novembre) Exercice 1
2x On posefn´endior:paienotclfax]1,+[, f(x) =ln(1 +x) 1 +x a)Mnono´equatitrerquelf(x) =xadmet exactement une solutionc >1. b)Montrer que :x >1, f(x)x.
2)Etudedunesuitere´currente
Onconside`relasuitere´currenteu= (un)nN,d´eniepar u]1,+[ 0 2un nN, un+1=f(un) =ln(1 +un) 1 +un a)On poseI= [0,1]. Montrer queIest stable parf. b)Soitu0Irqrelauee.x´ntMoustieuuenie,etqbteidne´sen0, unI. c)teuiaselqurertnome´Duconverge vers une limite`. d)enuerrdlaevramliD´ete`.
3)Etudedunese´rienum´erique  n  X X 1 1 Soitlas´erienume´riquef. On poseSn=f. n k n1k=1 1 a)Montrer que :kN,ln(k+ 1)lnkk   2 11 b)uq:eiuer´ndEdekN,− ≤f k+ 1k k   X 1 c)utanaltseelleuQieers´laderefluse.tattove´rerposoreed?rPcationsduxjustin n1
Probl`eme Notations. PourzC, on note|z|son module. Pour tout entier natureln, on note : n! la factorielle denavec la convention 0! = 1, – [|0, n|] l’ensemble des entiers naturelskv´er0tinakn,   n – lenombre de parties ayantke´letnem´mblededunensen,sopru´lee´emtnk[|0, n|]. k On rappelle :   n n! – lavaleur de= pourk[|0, n|], k k!(nk)! laformuledubinoˆme:siz1etz2sont des nombres complexes etnun entier naturel, alors n  X n n knk (z1+z2) =z z 1 2 k k=0 n X 1 11 Enfin, sinest un entier naturel non nul, on noteσnla somme= 1 ++∙ ∙ ∙+ eton pose k2n k=1 σ0= 0. Objectifs. Dans les partiesIetIInproc´ed´etudieu,nortpaieoitaal,nede´mmosIIIstenscodeutedle´eea`ca´r diversesfonctionsetenparticulier`aunefonctionφla`aelquonleplapeuqiidelorptde´c´edesommation.
Etudedunproc´ede´desommation
Dans les partiesIetIIsetn.elatiosnotilisnsutostne´seiuavelss Toute application deNdansCticemolpnautenuset´exe,siaest une telle suite, on utilise la notation usuellea(n) =an. A toute suite complexea, on associee la suiteaein´d:pera n  X 1n nN, a= nak n 2k k=0 P L’objet des partiesIetIIt´´edeess´laieermoaperlrserppoirestdecaarpxuirporeeial´sseede´´t n0n P an. n0
Partie I : deux exemples. I.1.Cas d’une suite constante. SoitαC; on suppose que la suiteaed´sterapeinnN, an=α. n  X n I.1.1. ExpliciterpournN. k k=0 I.1.2. ExpliciterapournN. n P P I.1.3.Las´eriean(resp.a) est-elle convergente? n0n0n I.2.Casuneusd.tigee´moe´rtqieu n SoitzC; on suppose que la suiteaed´epni:artsenN, an=z. I.2.1. Exprimeraen fonction dezetn. n I.2.2. Onsuppose que|z|<1. X P 1.2.2.1.Justierlaconvergencedelas´erieanet expliciter sa sommeA(z) =an. n0 n=0 X P ∗ ∗ 1.2.2.2.Justierlaconvergencedelas´erieaet expliciter sa sommeaen fonction n0n n n=0 deA(z). I.2.3. Onsuppose que|z| ≥1. P I.2.3.1.Quelleestlanature(convergenteoudivergente)delas´eriean? n0 P I.2.3.2. Quelleest la nature deasiz=2 ? n0n I.2.3.3. Onsupposez=e, avecθ´eeltelqeu0r<|θ|< π. P Montrerquelase´rieaeirnagimaeitirevntnegeoctsparterlalcule.Caparaeelteellei´r n0n X de la sommea. n n=0 PartieII:e´tudeduproc´ed´edesommation. Dans cette partie, et pour simplifier, on suppose queaavt`esr´rseualse.eell II.1.Comparaison des convergences des deux suites. II.1.1. SoitnNrnueetneinsid`ere,oncokxe´,k[|0, n|].   n II.1.1.1.Pre´ciserune´quivalentdelorsquentend vers +. k   1n II.1.1.2.End´eduirelalimitedenlorsquentend vers +. 2k II.1.2. Soitanuseiuet´reelleetqerut´xl.eunentierna q  X n ak Onconsid`erepourn > qla sommeSq(n, a) =. Quelle est la limite deSq(n, a) n k2 k=0 lorsque l’entierntend vers +? II.1.3. On suppose queantend vers 0 lorsquentend vers +. Montrer queatend vers 0 n lorsquentend vers +. II.1.4. Onsuppose queantend versl(limite finie) lorsquentend vers +. Quelle est la limite dealorsquentend vers +? n ente`alaconvergencedelas(a) ? II.1.5. Laconvergence de la suite (anevtiiluae´uqleelse-t)n
P P II.2.esrisse´seedegcnvnreescosondaraiComp(an)et(a). n n n X X ∗ ∗n PournN, on nota,U= 2T. eSn=ak,Tn=k nn k=0k=0 II.2.1. Pourn[|0,3|], exprimerUnscbmocemmolnosianireai´einmeomssdeSkcse,rie`tda n X sous la formeUn=λn,kSk. k=0 II.2.2.Onseproposedede´terminerlexpressionexplicitedeUnsoaiinmbcomeomcsederiae´niln sommesSkpourk[|0, n|] : n X (E)Un=λn,kSkpournN k=0 II.2.2.1. Aquelle expression des coefficientsλn,k(en fonction denetk) peut-on s’attendre compte-tenudesre´sultatsobtenus`alaquestionII.2.1 ? II.2.2.2. Etablirla formule (Ereitnelrusecnerurecr´ar)pn(on pourra remarquer que pour toutk[|0, n|],ak=SkSk1avec la conventionS1= 0). P P aest conver-II.2.3.Onsupposequelas´erie(analeure´s(eiocvne)tsnte.ergererqMontn) ++X X en fonct gente et exprimer la sommeanion de la sommean. n=0n=0 P P ´erie(a) ? II.2.4.Laconvergencedelas´erie(anteenla`aqu´ealivdecnsalevnocegreleelse-t)n
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