Devoir Surveillé n PSI

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Devoir Surveillé n?1 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 24 Septembre 2011) (durée : 4 heures) Problème I On considère ici l'espace vectoriel réel E = M4(IR) muni de ses lois usuelles, et qui est aussi muni du produit matriciel noté ?. On note, pour (x, y, z, t) ? IR4, diag(x, y, z, t) = ? ? ? ? x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 z 0 0 0 0 t ? ? ? ? On note I = diag(1, 1, 1, 1). Soit A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 √ 2 0 ? 1 √ 2 1 √ 2 0 ? 1 √ 2 ?1 0 ? 1 √ 2 ?1 ? 1 √ 2 ? 1 √ 2 ?1 ? 1 √ 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? On note f l'endomrphisme de E dont A est la matrice dans la base canonique de IR4. 1. Démontrer que E est de dimension finie : Donner une base et sa dimension. 2. Quel est le rang de A ? A est-elle semblable à J = diag(1, 1, 0, 0) ? 3.

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Publié le : jeudi 1 septembre 2011
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Devoir SurveillÉn1 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 24 Septembre 2011) (durÉe : 4 heures)
ProblÈme I On considÈre ici l’espace vectoriel rÉelE=M4(IR)muni de ses lois usuelles, et qui est aussi muni du produit matriciel notÉ×. 4 On note, pour(x, y, z, t)IR,   x0 0 0 0y0 0 diag(x, y, z, t) =   0 0z0 0 0 0t On noteI=diag(1,1,1,1).   1 1 10− √ 2 2 1 1 0− √1 2 2 SoitA= 1 1 0− √1− √ 2 2  1 1 − √1− √0 2 2 4 On notefl’endomrphisme deEdontAest la matrice dans la base canonique deIR. 1. DÉmontrerqueEest de dimension finie : Donner une base et sa dimension. 2. Quelest le rang deA?Aest-elle semblable ÀJ=diag(1,1,0,0)? 3. MontrerqueE= ker(f+ 2IdE)ker(f2IdE)kerf 4. MontrerqueAest semblable Àdiag(2,2,0,0). 5. Montrerl’existence de trois endomorphismes deEtelle que : IdE=p1+p2+p3 i∈ {1,2,3}, pipi=pi 2 (i, j)∈ {1,2,3}, i6=j=pipj= 0 f= 2p12p2 6. Etablirl’existence de trois matricesU, V, Wtelles que : Id=U+V+W 2 22 U=U;V=V;W=W U V=V U=U W=W U=V W=W V= 0
7. MontrerqueΨ :M7AMM Aest un endomorphisme deE. 8. EndÉduire queC={ME/AM=M A}est un sous espace vectoriel deE.
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4 9. SoitMCetgson endomorphisme deIRassociÉ dans la base canoniqueb0de 4 IR. On notef∈ L(E)tel queM atb0(f) =A (a) Montrerqueλg,RI(ker(fλIdE))ker(fλIdE). 1 (b) OnnoteA=P diag(2,2,0,0)PPGL4(IR).   a0 0 0 0b0 0 0 −10 DÉmontrer queM=PP MMest de la formeavec   0 0c d 0 0e f 6 (a, b, c, d, e, f)IR. (c) Donnerla dimension deC 2 (d) Etudiers’il peut existerMEtelle queM=A
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Notations et objectifs:
ProblÈme II
Soitnun entier,n2; on noteE=Mn(IR)laIR-algÈbre des matrices carrÉes d’ordren À coefficients rÉels, etE=L(E, IR)leIRespace vectoriel des applications linÉaires deE dansIR.
2 On rappelle que :dim(E) = dim(E) =n.
Les ÉlÉments deEsont notÉsM= (mi j), la matrice ÉlÉmentaireEi jest la matrice deE dont les coefficients sont tous nuls À l’exception de celui qui se trouve sur lai-Ème ligne et sur laj-Ème colonne, qui vaut1. On appelle hyperplan vectoriel deEtout sous espace vectoriel deEde dimension 2 n1. LorsqueAetBsont des ÉlÉments deE, on noteABleur produit.
SiME, on notevect(M)le sous-espace vectoriel engendrÉ parM.
L’objectif du problÈme est de montrer que chaque hyperplan vectoriel deEpossÈde au moins une matrice inversible.
P n SiM= (mi j)E, on noteT(M)le rÉelmk k. k=1
On dÉfinit ainsi une applicationTdeEversIR:M7T(M).
A chaque matriceUdeE, on associe : L’applicationTUdeEversIR:M7TU(M) =T(U M). L’ensembleHU={ME|T(U M) = 0}.
PARTIE I : GÉnÉralitÉs, exemples
1. QuelquespropriÉtÉs. (a) MontrerqueTest une application linÉaire. (b) PourUE, prouver que l’applicationTUest dansE. (c) Etablirque dim(ImTU)1. (d) SoitUE; reconnatreKerTU, et montrer queHUest un sous-espace vectoriel deE.   1 1 2.Dans cette question seulement,on prendn= 2, et on poseU=. 1 1 (a) Ecrire les quatre matrices ÉlÉmentairesEi j; que peut-on dire de la famille (E11, E12, E21, E22)deE=M2(IR)? (b) MontrerqueHUest l’ensemble des matrices deEdont la somme des quatre coefficients vaut0.
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(c) Trouverune matriceMdeEtelle queT(U M)6= 0, et en dÉduire la dimen-sion de ImTUpuis la dimension deHU. Montrer queHUpossÈde une matrice inversible. La partieIIIpropose une gÉnÉralisation de ce rÉsultat. PARTIE II : Quelques rÉsultats utiles pour la suite 1. SoitA= (ai j)etB= (bi j)des ÉlÉments deE. n n XX (a) MontrerqueT(AB) =aj ibi j. j=1i=1 (b) EndÉduire les identitÉs suivantes : n n XX t (I1)T(AB) =ai jbi j j=1i=1 (I2)T(BA) =T(AB) SoitUdansE. 2. (a)SiUest la matrice nulle, dÉterminerdimHU. (b) SiUn’est pas la matrice nulle, montrer que l’on peut trouver un couple d’entiers (i0, j0)tel queTU(Ei0j0)6= 0. En dÉduiredimHU. 2 3. Pour(i, j)∈ {1,2, . . . , n}, on noteTi j=TEj i. (a) LesindicesketlÉtant fixÉs, calculerTi j(Ek l)en utilisant(I1). 2(b) EndÉduire que lesnÉlÉmentsTi jdeEpermettent de dÉfinir une base de E. 4. Montrerque l’applicationϕdeEversE:U7→ϕ(U) =TUest un isomorphisme d’espaces vectoriels. 5. OnconsidÈre un hyperplan vectorielHdeE. (a) SoitAune matrice non nulle deEqui n’appartient pas ÀH, montrer que : E=Hvect(A). (b) Construirealors un ÉlÉmentldeEtel queH=Kerl. (c) Prouverl’existence d’un ÉlÉmentUdeEtel queH=HU. PARTIE III : Le rÉsultat gÉnÉral P r Pour1rn, on noteRr=Ei i. i=1   0 0∙ ∙ ∙0 1 . . . . . . . . . 1 0pi+1i= 1,1in1 . . . . . . 1. SoitP=.. . ..c’est-À-direP= (pi j)avecp1n= 1. . . . . . .0. . .pi j= 0ailleurs 0 0 0∙ ∙ ∙1 0 (a) MontrerquePest inversible. (b) ProuverquePappartient À l’hyperplanHRr. 2. EndÉduire que chaque hyperplan vectorielHdeEpossÈde au moins une matrice inversible.Indication : lorsqueH=HU, avecUde rangr, on rappelle l’existence de matricesS1etS2inversibles telles queS1U S2=Rr.
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