Devoir Surveillé n04 PSI

Publié par

Devoir Surveillé n04 PSI MATHEMATIQUES (Samedi13Novembre2010) (durée:4 heures) Questions de cours 1. Donnerladéfinitiondudéterminantden vecteursd'unespacededimension dans unebasedonnée. 2. Citerdeuxméthodespermettantdecalculerundéterminant. 3. (a) DéfinitiondudéterminantdeVandermondeV(Xl,' ,xn). (b) Donneretdémontrersonexpressionenfonctionde (xih~i~n' (c) DonneruneCNS pourquela matricedeVandermondesoitinversible. 4. Etantdonnéunendomorphismeu deE, donnerla définition: (a) d'unpolynômedel'endomorphismeu. (b) d'unpolynômeannulateurdeu. (c) du polynômeminimaldeu. 5. Donneruneconditionsuffisanted'existencedu polynômeminimald'unendomor- phismedeu. 6. Donnerlaméthodepourcalculerlespuissancesd'unematriceàpartird'unpolynôme annulateurdecettematrice. 7. Etantdonnéunendomorphismeu deE, donnerla définition: (a) d'unevaleurpropredeu. (b) d'unvecteurpropredeu. (c) duspectredeu. (d) d'unsousespacepropredeu. 8. Citertroispropriétésdupolynômecaractéristiqued'unematrice. 9. Donnerla définitiond'unendomorphisme(resp: d'unematrice)diagonalisable. 10.CiterquatreCNS (autresquela définition)pourqu'unendomorphismed'unIK-e.v soitdiagonalisablesurIK.

  • al a2

  • etantdonnéunendomorphismeu dee

  • dee estdit stablepar

  • montrerquedl eststablepar

  • problème1 autour de la matrice circulante


Publié le : lundi 18 juin 2012
Lecture(s) : 528
Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 23
Voir plus Voir moins
 Ce devoir comporte 2 parties totalement indépendantes.  La rédaction des réponses se fera sur les documents réponses uni-quement !  De nombreuses questions sont indépendantes : à vous de les identi-fier  Rendre à la fin de l’épreuve : -Cette fiche avec vos Nom et Prénom  -Les documents réponses : o 2 feuilles A3 + 1 feuille A4  
N OM :                              P RENOM : C LASSE : DS n°4 de SII Samedi 14 janvier 201 Durée 4 heures               SYSTEME  AUTOMATISE  DE  DEPOSE  DE  PATE  A  CHOU     d’après X -ENS - pages - 1h45  -Analyse Fonctionnelle - Cinématique analytique Sujet 6 pages Documents réponses 3 pages           SYSTÈME  DE  SIMULATION  DE  TRAJECTOIRE d’après Mines-Pont - pages - 2h15   - Cinématique Analytique et Graphiq  Asservissement SLCI Sujet 8 pages -Documents réponses 5 pages    Note :    Appréciations :           
DS N °4   B RIZEUX     
 
SYSTEME  AUTOMATISE  DE  DEPOSE  DE  PATE  A  CHOUX   SYSTEME AUTOMATISE DE DEPOSE DE PATE A CHOUX  
Figure 1 : Produits finis : choux et éclairs   
Figure 2 : La doseuse
  
 P RESENTATION DU PROBLEME INDUSTRIEL L’objet de cette étude est la validation partielle des solutions constructives «un système automatisé d e dépose de pâte à choux sur le tapis roulant d’une ligne de production de gâteaux ». Cette ligne, réalisée et commercialisée par la société AERA (Atelier d’Etude et de Réalisation d’Automatismes), permet de fabriquer et d’emballer jusqu’à 29000 mini éclairs (2x5cm²) à l’heure (encombrement sur le tapis 4x7cm²).  Elle est constituée d’un tapis roulant qui achemine la pâte successivement à chacun des postes  : dépose de la pâte, cuisson, injection de crème, nappage, décoration, conditionnement et emballage. X-ENS  2001  PSI
 
P AGE 1 SUR 6
DS N °4   B RIZEUX  SYSTEME  AUTOMATISE  DE  DEPOSE  DE  PATE  A  CHOUX   La vitesse linéaire du tapis, imposée par le temps de cuisson et la longueur du four est constante. Pour assurer les cadences attendues, 25 rangées de gâteaux sont confectionnées parallèlement sur le tapis.  A NALYSE FONCTIONNELLE  Q1 -Qualifier et quantifier le besoin satisfait par la ligne de production. La photographie ci-dessus représente la doseuse installée sur le tapis.  Le tapis avance manifestement de la gauche vers la droite sur la Figure 2 puisque, après son passage sous la doseuse, on y distingue les rangées de gâteaux. La quantité de pâte nécessaire pour un gâteau est extraite de la trémie de stockage, puis expulsée par le mécanisme de dosage, au travers d’une buse située au dessus du tapis.  Q2 -En isolant la doseuse, identifier sur un graphe des interacteurs les relations avec le milieu extérieur. En déduire les principales fonctions de service assurées par la doseuse dans la phase d’utilisation. (on se limitera à énoncer 3 fonctions de service) E TUDE DU DOSAGE  L’objet de cette partie est l’étude du système automatisé qui permet de doser la pâte à choux. L’infrastructure actuelle utilise un dispositif mécanique de transformation de mouvement  présenté Figure 3 et Figure 4. La rotation continue d e l’arbre moteur conduit à la translation alternative du piston (5). La pâte , initialement stockée dans la trémie, est acheminée vers la chambre d’éje ction de pâte grâce au basculemen t d’un boisseau. Le mécanisme doseur est composé d’une manivelle (1), d ’une bielle (2), d’un balancier (3) et d’un piston (5). Un maneton (4) permet de lier le piston au balancier. Un dispositif de réglage, composé des pièces (6), (7) et (8) permet, en changeant l’altitude de la pièce (8) de modifier la position du point C du solide (3). Le bâti de la doseuse sera noté (0).  
 
X-ENS  2001  PSI
Figure 3 : Mécanisme de transformation de mouvement
 
 
P AGE 2 SUR 6
6
ݕ  
8 ܩ  7 ܨ  ܥ  ݖ   4 3 ܦ̶  5 2 ܤ  ܦ  ݔ ݖ  ܦԢ   
ݔ  
  
DS N °4   B RIZEUX  SYSTEME  AUTOMATISE  DE  DEPOSE  DE  PATE  A  CHOUX E TUDE DU MECANISME  Le mécanisme n’est pas soumis à des efforts suffisamment importants pour just ifier une solution hyperstatique. Pour une simplicité du montage il est donc préférable de choisir une solution isostatique. Dans cette partie, nous allons vérifier que le modèle proposé ci-dessous (Figure 4) est effectivement isostatique. Il est à noter que le système de mise en mouvement de translation verticale de la pièce (8) (réalisé par liaison glissière hélicoïdale, chaîne. ..) n’est pas représenté.          ݖ  ܧ   ݕ     1 ܱ   ݖ   ܣ   ݖ    Figure 4 : Modélisation cinématique spatiale  Q3 -Établir le graphe des liaisons de ce modèle.  Q4 -Déterminer la liaison équivalente aux deux liaisons reliant les solides (4) et (5).  On précise que, dans le fonctionnement envisagé, la normale ݕ  de l’appui plan entre les pièces (3) et (4) n’est jamais parallèle à l’axe de la liaison pivot glissant entre la pièce (5) et le bâti (0).  Q5 -Peut-on, pour ce mécanisme, retenir un modèle plan ? Justifiez votre réponse.  C INEMATIQUE DU MOUVEMENT PLAN ENTREE -SORTIE  Pour obtenir un éclair à forme régulière il est suffisant de déposer une pâte à débit constant avec une buse avançant à vitesse constante par rapport au tapis. Le débit de la pâte est imposé par le mouvement du piston et la loi de comportement de la pâte. Pour le déterminer, il faut donc établir la loi entrée/sortie de la transformation de mouvement. Pour cela une modélisation cinématique plane est suffisante. On s’appuie donc maintenant sur la modélisation cinématique présentée ci-dessous sur la Figure 5 :  
X-ENS  2001  PSI
 
P AGE 3 SUR 6
SYSTEME  AUTOMATISE  DE  DEPOSE  DE  PATE  A  CHOUX 8
6
7 ݔ  ݔ   ܥ  
 5 ݔ  
  
DS N °4   B RIZEUX      ݕ        ݔ  2 3  ܣ   4   ܱ  ܤ  ݔ    ܦ   Figure 5 : Modélisation cinématique plane  Le repère ሺͲǡ ݔ ǡ ݕ ǡ ݖ est un repère fixe attaché au bâti (0).  Fonctionnement normal (cf Figure 6) En fonctionnement normal, le réglage de la pièce (8) est figé et le point C est fixe. Dans cette phase de fonctionnement normale, on peut considérer que (6), (7), (8) sont fixes par rapport à (0). ܱܥ ൌܮǤ ݔ ݄Ǥݕ (où L et h sont des constantes) ߙݔ ǡ ݔ ݕ ǡ ݕ   ߚݔ ǡ ݔ ݕ ǡ ݕ   ߛݔ ǡ ݔ ݕ ǡ ݕ  ݕ    ݔ  ߶ݔ ǡ ݔ ݕ ǡ ݕ ߨ͸    ݔ  ܥ  ܣܱܤܣܴܴ    ܤܥܴ   3 ܱܥ ൌܮǤ ݔ ݄Ǥݕ   4   ܤ  ݔ  5 ݔ   ܦ    Figure 6 : Schéma cinématique dans le cas du fonctionnement normale  Q6 - Donner le torseur cinéma tique de l’excentrique (1) par rapport au bâti (0) ൛आ ሺଵȀ଴ሻ , le torseur cinématique de la bielle (2) par rapport à l’excen trique (1) ൛आ ሺଶȀଵሻ , le torseur cinématique du balancier (3) par rapport à la bielle (2) ൛आ ሺଷȀଶሻ  et le torseur cinématique du balancier (3) par rapport au bâti (0) ൛आ ሺଷȀ଴ሻ en fonction des paramètres définis sur la Figure 5. Exprimer ces torseurs au point C  Q7 -Écrire la fermeture de chaîne cinématique. En projetant sur ݔ ݁ݐ ݕ , en déduire les deux relations scalaires liant les angles Į,ȕ,Ȗ, leur dérivée par rapport au temps et les dimensions caractéristiques du mécanisme.  Ces équations n’étant pas d’une analyse aisée, on aborde le problème par une méthode graphique. ฮȳ ሺଵȀ଴ሻ Ͷ ݐݎݏȀ݉݅݊ et  ܱܣܴ ͳʹ ݉݉  Les tracés des questions Q8 à Q13 seront réalisés sur le document réponse question  Q8  X-ENS  2001  PSI P AGE 4 SUR 6
ݔ  ܣ  2 ܱ  
DS N °4   B RIZEUX  SYSTEME  AUTOMATISE  DE  DEPOSE  DE  PATE  A  CHOUX    Q8 Ȃ Déterminer et tracer   אȀ. Etablir la relation entre   אȀ      אȀ  Q9 Ȃ Déterminer et tracer le support du vecteur vitesse du point B dans le mouvement de (3) par rapport à (0) .   Q10 -Etablir la relation entre   ሺ୆אଶȀ଴ሻ       ሺ୆אଷȀ଴ሻ   Q12 - E n utilisant la méthode de lǯéquiprojectivitéǡ déterminer le vecteur vitesse du point B dans le mouvement de (2) par rapport à (0) :   אȀ  Q13 - Déterminer   אȀ. En déduire   אȀ  L’utilisation de logiciel de simulation mécanique permet d’obtenir les courbes reportées ci-dessous Fi ure 7 et Fi ure 8 our deux valeurs différentes du aramètre h.
 Figure 7 : évolution des déplacements  La Figure 7 représente le déplacement du point D  (en pointillés) et la projection horizontale du déplacement du point A  (trait fort) en fonction de l’angle Į.   
 Figure 8 : évolution des vitesses La Figure 8 représente la vitesse du point D  (en pointillés) et la projection horizontale de la vitesse du point A  (trait fort) en fonction de l’angle Į.   Q14 - D’après les courbes présentées ci -dessus Figure 7, Figure 8 par quelle loi simple peut-on approxim er l’évolution du déplacem ent du point D .  On suppose que la pâte à choux est incompressible et que la vitesse de la buse par rapport au tapis est constante X-ENS  2001  PSI P AGE 5 SUR 6
  
DS N °4   B RIZEUX  SYSTEME  AUTOMATISE  DE  DEPOSE  DE  PATE  A  CHOUX  Q15 - Pensez-vous qu ’il  soit possible de réaliser un éclair régulier avec ce mécanisme de transformation de mouvement ?  On souhaite quantifier le volume de pâte déposé. Il est donc nécessaire de connaître l’amplitude du mouvement du point D . L’obtention analytique de cette grandeur étant délicate, on propose une approche graphique du problème.  Q37 -A quelle(s) condition (s) géométrique(s) sur les points caractéristiques du mécanisme les points morts du mouvement du piston sont-ils atteints ?  Q38 - Sur les deux figures identiques du document réponse  sont représentées les positions supérieure (C S )  et inférieure (C i )  du point C . En supposant que ces positions correspondent aux valeurs extrêmes de la course du piston, déterminer graphiquement sur la première la course maximale du piston et sur la seconde la course minimale du piston.  Q39 -Quel est donc le seul intérêt de ce mécanisme de transformation de mouvement ?  
X-ENS  2001  PSI
 
P AGE 6 SUR 6
DS N °4   B RIZEUX  Q1 :
 
  Q2 :
 
 
 
 
 
 
 
  Q3 :  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Q4 :
 
 
  Q5 :  
    X-ENS  2001  PSI
DOCUMENT  REPONSE   SYSTEME  AUTOMATISE  DE  DEPOSE  DE  PATE  A  CHOUX
 
P AGE 1 SUR 3
P AGE 1 SUR 3
DS N °4   B RIZEUX  DOCUMENT  REPONSE   SYSTEME  AUTOMATISE  DE  DEPOSE  DE  PATE  A  CHOUX P AGE 2 SUR 3 ǥ Q6 : ൛आ ሺଵȀ଴ሻ ǥǥ ǥǥ  ሺଶȀଵሻ ǥǥǥǥǥǥ ǥǥǥǥǥǥ ǥ ǥ ǥ ǥ ǥ ǥ ǥ ǥ ǥ   ൛आ ሺଷȀଶሻ ǥǥǥǥǥǥ ǥǥǥǥǥǥ   ሺଷȀ଴ሻ ǥǥǥǥǥǥ ǥǥǥǥǥǥ ǥ ǥ Expression des torseurs cinématiques au point C ൛आ ሺଵȀ଴ሻ ൟ ൌ ǥǥǥǥǥǥ ǥǥǥǥǥǥ  ሺଶȀଵሻ ൟ ൌ ǥǥǥǥǥǥ ǥǥǥǥǥǥ ǥ ǥ ǥ ǥ   ൛आ ሺଷȀଶሻ ൟ ൌ ǥǥǥǥǥǥǥ   ሺଷȀ଴ሻ ൟ ൌ ǥǥǥǥǥǥ ǥǥǥǥǥǥ ǥ  Q7 : ሺ͵ȀͲሻ ڮ  Projection des vitesses sur   Projection des vitesses sur   Projection des vitesses angulaires sur ሬࢠ    
     X-ENS  2001  PSI
 +
 
ܸ ሺ஺אଵȀ଴ሻ ǣ    ܸ ሺ஺אଶȀ଴ሻ   
 
P AGE 2 SUR 3
 
DS N °4   B RIZEUX  DOCUMENT  REPONSE   SYSTEME  AUTOMATISE  DE  DEPOSE  DE  PATE  A  CHOUX Q9   Q10   Q12 Equation de projection :   Q13    Q14   Q15   Q37   
 
  
X-ENS  2001  PSI
 
P AGE 3 SUR 3
P AGE 3 SUR 3
DS N °4   B RIZEUX  S UJET 2 S YSTEME DE SIMULATION DE TRAJECTOIRE   SYSTÈME DE SIMULATION DE TRAJECTOIRE
 PRÉSENTATION DU SYSTÈME  Le Service des Grands Moyens d’Essais de I’O.N.E.R.A. (Office National d’Etudes et de Recherches Aérospatiales) a réalisé un système de trajectographie captive. Lors du largage d’une charge pa r un avion porteur (missile, réservoir...), la trajectoire réelle de la charge s’écarte parfois considérablement de la trajectoire souhaitée. Du fait des phénomènes fortement non-linéaires qui caractérisent les écoulements aérodynamiques, il se peut que la charge larguée soit prise dans les turbulences engendrées par l’avion et revienne percuter celui-ci. Pour étudier ces phénomènes, il est en principe possible de former un modèle théorique (par exemple basé sur les équations de la mécanique du solide et de la mécanique des fluides) implanté sur un système informatique qui résout numériquement ces équations. Or dans les cas complexes, ce calcul numérique est encore hors de portée des meilleurs codes de calcul et des meilleurs ordinateurs actuels. On a donc recours à ce que les ingénieurs utilisent depuis l’Antiquité: un modèle matériel, une maquette.  Celle-ci consiste en une maquette d’avion à l’échelle 1/6, larguant une maquette de la charge à la même échelle. Chacune est portée par un bras articulé, doté de nombreux degrés de liberté et pouvant reproduire tous les mouvements tridimensionnels des objets portés (cf. Figure 1, Figure 2).  
 Figure 1  En repère d’étude galiléen, les bilans des efforts extérieurs aux solides en présence (avion et charge) se réduisent au poids et aux efforts d’origine aérodynamique. C’est pourquoi on place les maquettes en soufflerie. Les phénomènes de mécanique des fluides obéissent à des similitudes : à partir des grandeurs physiques observées à une certaine échelle, on peut déduire la valeur de ces mêmes grandeurs à une autre échelle. Le respect des règles de similitude conduit cependant à une échelle de maquette proche de l’avion réel. Ceci explique SUJET  1 P AGE 1 SUR 8
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.