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SESSION 1995 E.N.A.C. Ingénieurs FILIERE M COMPOSITION DE MATHEMATIQUES. OPTION - I - R[X] étant l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, on désigne par E le sous-espace de R[X] ayant pour éléments les polynômes P tels que ∫1 0 P(x) dx = 0. On appelera D l'endomorphisme de R[X] associant à tout polynôme P sa dérivée P ?, et d la restriction de D à E. a) 1) Montrer que d est un isomorphisme de E sur R[X]. On désignera par ? l'isomorphisme réciproque : ? = d(?1). 2) Vérifier que pour tout élément Q de R[X], le polynôme P = ?(Q) est défini par : ?x ? R, P(x) = ∫x 0 Q(t) dt + ∫1 0 (t ? 1)Q(t) dt. b) On considère la suite (Bn)n?N dans R[X] définie par B0 = 1 et par la relation de récurrence : ?n ? N, Bn+1 = ?(Bn). 1) Expliciter B1 et B2. 2) Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : Bn(0) = Bn(1).

  • espaces vectoriels de polynômes

  • égalité établie dans la question précédente

  • e? ?


Publié le : lundi 18 juin 2012
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SESSION 1995
E.N.A.C. Ingénieurs
FILIERE M
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES. OPTION
 I  R[X]étant l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, on désigne parEle sousespace deR[X]ayant pour éléments les polynômesPtels que Z 1 P(x)dx=0. 0 On appeleraDl’endomorphisme deR[X]associant à tout polynômePsa dérivéeP, etdla restriction deDàE. (−1) a) 1)Montrer quedest un isomorphisme deEsurR[X]. On désignera parϕl’isomorphisme réciproque :ϕ=d. 2)Vérifier que pour tout élémentQdeR[X], le polynômeP=ϕ(Q)est défini par : Z Z x 1 xR, P(x) =Q(t)dt+ (t1)Q(t)dt. 0 0 b)On considère la suite(Bn)nNdansR[X]définie parB0=1et par la relation de récurrence : nN, Bn+1=ϕ(Bn).
1)ExpliciterB1etB2. 2)Vérifier que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à2, on a :Bn(0) =Bn(1). c)A tout entier natureln, on associe le polynômePndéfini par : n xR, Pn(x) = (−1)Bn(1x). Pe 1)Pour tout entier natureln, exprimern+1n fonction dePn. 2)Montrer que pour toutndansNPn+1=ϕ(Pn). 3)En déduire l’expression deBn(1x)en fonction deBn(x). d)Dans cette question,pest un entier naturel non nul. Pour toutndeNon pose : p1  X x+j n1 p Bn=Qn(x). p j=0 1)Montrer que :Qn+1=ϕ(Qn). 2)En déduire que l’on a pour tout entierpdansN: p1  X x+j n1 xR, Bn(x) =p Bn. p j=0 e)A tout entierndeN, on associe le polynômeRndéfini par : Rn=Bn+1(x+1) −Bn+1(x). Z x 1)Démontrer que l’on a pour toutn:xR, Rn+1(x) =Rn(t)dt. 0 1
2)Déterminer le polynômeRnpour toutndeN. 3)En déduire que pour tout couple(m, n)d’entiers strictement positifs, on a :
m X n k=n! (Bn+1(m+1) −Bn+1(1)). k=1
 II 
Les notations restant celles de la partie I, on poseBn(0) =bn. n X j x a) 1)Démontrer que l’on a pour toutndansN:Bn(x) =bnj. j! j=0 2)En déduire que la suite(bn)nNest définie par la relation de récurrence : n X bnj nN, bn= −, avecb0=1. (j+1)! j=1
3)Montrer que, pour toutkentier naturel non nul, on ab2k+1=0. b)Utilisant le résultat de 1.d), donner les expressions en fonction denetbnde :      1 1 1 1 Bn;Bn;Bn;Bn. 2 3 4 6 c)On se propose de démontrer que, pour tout entiermstrictement positifB2ma exactement un zéro sur l’intervalle   1 0,, que l’on appelleraθm. 2 m 1)Vérifier qu’il existe dansNau moins un nombremtel que la fonctionx7(−1)B2m1(x)soit strictement   1 positive sur0,. 2   1 m 2)Soitmun tel nombre. Etudier les variations de(−1)B2msur0,et déterminer le nombre des zérosB2m 2 sur cet intervalle.   1 m+1 3)De cette étude, déduire que(−1)B2m+1(x)est strictement positif sur0,. 2 4)Justifier alors la proposition énoncée au début de la question.   1 1 5)Vérifier que, quelque soitm,θmappartient à,. 6 4   1 d) 1)Calculer pour toutmla borne supérieure de|B2m(x)|sur0,. 2 2)En déduire que : sup|B2m(x)|=|b2m|. [0,1]
 III  ˜ Pour tout polynômeP, on désignera parPla fonction périodique de période1telle que : 1 ˜ ˜ x]0, 1[, P(x) =P(x)etP(0() =P(0) +P(1)). 2 ˜ a)Montrer queP(x)est développable en série de Fourier sous la forme : +X a0 ˜ P(x+ () =αkcos2kπx+βksin2kπx). 2 k=1 2
α0,αk,βkétant les coefficients de Fourier, dont on donnera les expressions respectives sous forme d’intégrales. b)Utilisant les résultats obtenus dans la partie I : ˜ 1)Montrer que, pour toutndansN,B2nest paire et continue surR. ˜ 2)Vérifier, pour toutndeN, queB2n1est impaire et qu’elle est continue surRsinest supérieur ou égal à2. c)Pour toutkdansNet pour toutndansN, on pose : Z 1 B2n(x)cos2kπx dx=Ik(n). 0 1)Donner la valeur deI0(n). 2)Trouver une relation de récurrence entreIk(n+1)etIk(n). 3)CalculerIk(1). 4)Montrer alors que l’on a, pour toutxde[0, 1]: +X 1 n1 B2n(x) =2(−1)cos2kπx. 2n (2kπ) k=1 +X 1 5)En déduire l’expression en fonction denetb2nde la somme :. 2n k k=1 d) 1)Trouver, grâce à un encadrement judicieux, la limite : +X 2n limk. n+k=1 2)En déduire que pourninfiniment grand on a : n1 (−1) b2n2. 2n () 3)Calculer, pour toutx[0, 1], la limite : B2n(x) lim . n+B2n(0) ˜ e) 1)Calculer le développement en série de Fourier deB1. 2)Démontrer sans nouveau calcul d’intégrale que, pour toutnsupérieur ou égal à2on a : +X 1 n x[0, 1], B2n1(x) =2(−1)sin2kπx. 2n1 (2kπ) k=1
 IV  2n Dans cette partie,fdésigne une fonction définie sur[0, 1]à valeurs dansR, de classeC, oùnest un entier supérieur ou égal à2. a)Pour toutkappartenant à l’intervalleJ1, nKdeNon pose : Z 1 (2k) (B2k(t) −B2k(0))f(t)dt=Jk. 0 1)Exprimer l’intégrale : Z 1 f(t)dt 0 en fonction deJ1,f(1)etf(0). 2)Montrer que pour toutksupérieur ou égal à2on a :   (2k3) (2k3) JkJk1=b2k2f(1) −f(0). 3
3)Justifier alors l’égalité suivante : Zn1Z 1 1 X 1 (2j1) (2j1) (2n) f(t)dt= (f(0) +f(1)) −b2jf(1) −f(0) +(B2n(t) −B2n(0))f(t)dt. 2 0 0 j=1 αt b)Application au cas oùf(t) =e, oùαest un nombre complexe tel que|α|< 2π. 1)Appliquant à cette fonction l’égalité établie dans la question précédente, vérifier que : n1 α X α e+1 2j =1+b2jα+ρn(α) α 2 e1 j=1 Z 2n+1 1 α αt ρn(a) =e(B2n(t) −b2n)dt. α e1 0 2)Utilisant l’équivalence établie dans III.D.2), montrer que si|α|< 2π, on a : limρn(α) =0. n+En déduire que pour toutαde module strictement inférieur àon a : +X α α e+1 2j =1+b2jα. α 2 e1 j=1 c)Utilisant ce résultat, trouver le développement en série entière enxsur] −π, π[de la fonction : x7xcotan(x),
prolongée par continuité en0.
 Fin du problème 
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