Les calculatrices sont autorisées

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1/12 Les calculatrices sont autorisées *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur !_$%$&_'()* le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons !+,()$)-).-)/+,(01)*(.(_-_(.2+$_(3(45+$!5+6 Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. *** Le sujet comporte 12 pages PR O B L E M E A !_$%&'()*+%,-&._%./.'%0% R ESPIR AT O IR E !_$!%$!_&%!'(_)!*!&%$+&,%_&%_-+_%'-).&$/.0_!% !_$!%)('+)!%% !_$%&'()*$$*_+_,%(-.

  • fluide de viscosité

  • écoulement laminaire

  • cylindre de rayon pr et de longueur pl

  • rayon

  • expression de la résistance hydraulique

  • champ de la vitesse

  • repère cylindrique

  • surface latérale du cylindre


Publié le : lundi 18 juin 2012
Lecture(s) : 57
Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 4
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P représente la pression et on note : P z&&0 P et P z&&L P . # $ # $0 L

On néglige les phénomènes de pesanteur.



A.1. Justifier que le champ de vitesse est indépendant de % .



A.2. ?633*,*)#16"$#,*#-6$#=("()6,<#,%(8/6'&."#,.-6,*#1*#-."$*)56'&."#1*#,6#06'&@)*A#



Que devient cette re,6'&."#16"$#,*#-6$#1%/"#2,/&1*#&"-.03)*$$&4,* ?
Les calculatrices sont autorisées


En déduire que le champ de vitesse ne dépend pas de z.
***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision
A.3. Quelle propriété présente le champ de vitesse dans le c6$#1%/"#(-./,*0*"'#$'6'&.""6&)*#B
de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
On étudie maintenant un écoulement stationnaire.
!"#$%$&#'()* le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons

!+,()$)-).-)/+,(01")*(.(#-#(.2+$#(3(45+$!5+6
A.4. C"#3).D*'6"'#,%(8/6'&."#1*#>65&*)-Stokes dans la base cylindrique, montrer que P ne dépend
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la dP
que de z et établir une équation différentielle reliant v r , r et . # $numérotation de la question traitée.
dz
***
Les expressions des opérateurs en coordonnées cylindriques sont données à la fin du sujet.
Le sujet comporte 12 pages

A.5. C'64,&)#,%*;3)*$$&."##1*# P#z$ en fonction de P , P , z et L. 0 LPR O B L E M E A !"#$%&'()*+%",-&."#%"./.'%0%"

R ESPIR AT O IR E
1 P , P 220 LA.6. En déd/&)*# 8/*# ,*# -9603# 1*# 5&'*$$*# $%(-)&'# v#r$&,R r sachant que la # $
4! L
!"#$!%$!#&%!'(#)!*!&"%$+&,%#&%"#-+#%'-).&$/.0#!% vitesse en r & 0 est bornée.
!"#$!%)('+)!%%
Tracer le profil de la vitesse v#r$ en fonction de r .
!"#$%&"'()*$$*#+#,%(-./,*0*"'#1%/"#2,/&1*#&"-.03)*$$&4,*#1*#5&$-.$&'(#! et de masse volumique "
16"$#/"#'/76/#-7,&"1)&8/*#9.)&:."'6,#1%6;*#!:<#1*#,."=/*/)# L et de rayon R . Cet écoulement Préciser la valeur maximale v de la vitesse. max!" !!" !"
unidirectionnel est caractérisé dans un repère cylindrique O,,e e,e par un champ de vitesse # $ r % z
"!"
v& v r,,% z,t e 8/&#5()&2&*#,%(8/6'&."#1*#>65&*)-Stokes, # $ z !'(#)!*!&"%,"+".(&&+./!%" !!!!!" !!!" !!!!!"()'v 1 "" "2
!"**#$%&#'(&+&,"#$%)*+& $ !"#$!%1)(2+)!%-.
't 2/0


!"#$%&"'()*$$*#'./D./)$#+#,%(-./,*0*"'#1%/"#2,/&1*#&"-.03)*$$&4,*#1*#5&$-.$&'(# ! et de masse
volumique " dans un tu76/#-7,&"1)&8/*#9.)&:."'6,#1%6;*#!:#1*#,."=/*/)# L et de rayon R . On
M r,%, z
1($&)*#)*')./5*)#,*#-9603#1*#5&'*$$*#3)(-(1*"'#+#36)'&)#1%/"#4&,6"A
R
On s'intéresse à une portion de liquide (représentée en grisé sur la figure 2) contenue dans un
v#r,%, z$e z
cylindre de rayon r r 1 R , compris entre les plans z& 0 et z & L . On rappelle que sur la surface # $
latérale de ce cylindre de rayon r s'exerce une force de viscosité parallèle à Oz et dont la norme est ! z = L
!" 'v #r$zF & S! , où S est la surface latérale du cylindre et v la vitesse du liquide. On note z
'r

P z&&0 P et P z&&L P . On néglige les phénomènes de pesanteur. # $ # $0 L
Figure 1
.
1/12 2/12 % +,,('.+".(&%$!%/!,.,"+&'!,%3-$/+#).0#!,%%

R
A.13. On associe deux cylindres et (figure 3) de résistances hydrauliques R et R de A A H y1 Hy21 2
même section S. L'un est compris entre x & 0 et x & L , le second est compris entre x & L et 0 11 11
x&*L L . On note P , P et P les pressions pour x & 0 , x & L , x&*L L . On néglige 212 0 1 2 0 11212
O
les pertes de charges au niveau du raccordement.
z = L

Figure 2

A.7. E6&)*#,%&"5*"'6&)*#1*$#2.)-*$#$F*;*)G6"'#$/)#,*#-7,&"1)*#1*#)67."# r .

A.8. On rappelle que la vitesse ne dépend que de r . En appliquant le principe fondamental de la
dynamique au petit cylindre en régime permanent, déduire une équation différentielle de la
dv x = L + L2 1 2x = 0 x = Lforme & k.r où k s'exprime en fonction de L , P , P , 23et !3. 1 100 L
dr Figure 3


Retrouver le champ de vitesse v()r précédent. a) Établir l'expression de la résistance hydraulique R L8/%."#1(2&"&'#4&*"#$M)#36)#,a relation : Hy

P,&P R Q ) de l'ensemble en fonction de R et R . 0 L Hy Hy1 Hy2
N"1&8/*)<#*"#,6#D/$'&2&6"'<#/"*#6"6,.=&*#65*-#/"#3).4,@0*#1%(,*-').-&"('&8/*A % /!,.,"+&'!%3-$/+#).0#!%


b) En déduire la pression P en fonction de P , P , R et R . 1 0 2 Hy1 Hy2A.9. Calculer le débit volumique Q 16"$# ,6# -."1/&'*A# !"# ,%*;3)&0*)6# $./$# ,6# 2.)0*#
Q&,K # P P $, connue sous le nom loi de Poiseuille. Calculer la constante K. 0 L
x = Lx = 0 x = L 2 20 1 1
En déduire la vitesse moyenne, v en fonction de L , P , P , 23et !3. moy 0 L

La comparer à la vitesse maximale, v . max

LA.10. On définit R , résistance hydraulique de longueur et de surface S , par la relation Hy
P,&P R Q . 0 L Hy


Exprimer R en fonction de L , R et !A##H/*,,*#*$'#,%6"6,.=&*#65*-#,6#1(2&"&'&."#1*#,6#)($&$'6"-*#Hy Figure 4
électrique ?
A.14. Les deux cylindres A , de section S et de longueur L et A de section S et de longueur 1 1 1 2 2
A.11. Comment varie la résistance hydraulique R avec le rayon R ? L sont associés en « parallèle » (figure 4). On note P , la pression sur les faces d'entrée pour Hy 2 0
x & 0 et P , la pression sur les faces de sorties ( x & L pour A , et x & L pour A ). 0 1 11 1 22 2
I.036)*)#-*#)($/,'6'#65*-#,6#)($&$'6"-*#(,*-')&8/*#1%/"#46))*6/#1*#,."=/*/)# L de section
S &4 R! et de conductivité électrique 5 . Justifier qualitativement la différence. C'64,&)# ,%*;3)*$$&."# 1*# ,6# )(sistance hydraulique de cette association en raisonnant par
6"6,.=&*#65*-#,%(,*-').-&"('&8/*A
A.12. J6#,.&#1*#K.&$*/&,,*##"%*$'#56,64,*#8/*#3./)#/"#écoulement laminaire.
En déduire le débit Q dans le cylindre A de section S en fonction du débit total Q , R et 1 1 1 Hy1
R . Rappeler la signification du terme en gras. Hy2

En déduire une inégalité sur le rayon R pour que le calcul soit valable si on prend une A.15. ?633*,*)#,%*;3)*$$&."#1*#,6#3/&$$6"-*#(,*-')&8/*#1&$$&3(*#16"$#/"*#)($&$'6"-*#(,*-')&8/*# R
," ')65*)$(*#36)#/"#-./)6"'#1%&"'*"$&'(# I . Par analogie, déterminer la puissance dissipée par les vitesse moyenne v & 0,1m / s , une viscosité dynamique ! & 10 !Pa6 s et une masse moy
" ," forces de viscosité en fonction de R et Q . Hyvolumique " & 10 !#$6 m .

3/12 4/12 A.18. Calculer le volume V 1%/"*#4)."-9&.,*#1*#=("()6'&."# p en fonction de V , h et p . En p 1
3"!+/2/!%2/(&'3.0#!%!"%)!!&"/(4.!%% déduire le volume total de la génération p . On posera . V X & 2hpt
n
1, XDans un arbre bronchique, les voies respiratoires se O."')*)#8/*#,*#5.,/0*#1*#,%6)4)*#$/33.$(#-."'*"&)# n générations est V & V . t 1
1, Xdivisent par dichotomie avec une réduction
systématique de la longueur et du diamètre. Dans le
problème, nous allons supposer que la trachée se
1&5&$*#*"#1*/;#4)."-9*$A#I96-/"*#1%*,,*#$*#1&5&$*#+#$."# A.19. Calculer la résistance hydraulique R 1%/"*#4)."-9&.,*#1*#=("()6'&."# p en fonction de R p 1
tour en deux autres, et ainsi de suite. Nous notons (résistance hydraulique pour p&1) et p . En déduire la résistance hydraulique R totale de tp
générations les différentes subdivisions qui seront
la génération p . indicées par les nombres successifs, p : la trachée est
Déterminer la résistance hydraulique R 1*#,%6)4)*#$/33.$(#-."'*"ir n générations. tla génération p&1, les bronches, p& 2 , et ainsi de
suite. Nous nous plaçons en r(=&0*#3*)06"*"'#*'#,%6&)#
A.20. Montrer que le volume total diverge quand n78 lorsque la constante est supérieure à hest assimilé à un fluide de viscosité ! .
une valeur critique h dont on précisera la valeur numérique. cUne bronchiole de génération p est assimilée à un
A quelle condition sur h , la résistance hydraulique diverge-t-elle ? cylindre de rayon r et de longueur l . Nous p p

admettrons que la loi de Poiseuille établie
7.(41),,.$&+(-8+52)01+(&#!#+(3(*"+$/)5%$$+2+$-(.,,)2)*#(3(1$(-8+52%,-.-(!+(-+24#5.-15+( T , est
précédemment reste valable (en particulier entre p& 6
due à la puissance des forces de viscosité.
et p&16 ).

A chaque génération, chaque dimension (rayon et longueur) est multipliée par une constante h que A.21. En utilisant la loi de Poiseuille, calculer la puissance thermique cédée par un arbre
,%."#$/33.$*)6#&1*"'&8/*#3./)#,*$#1*/;#1&0*"$&."$A bronchique ayant n générations en fonction de Q , débit à la génération 1, R , X et n . 1 1


A.22. P#36)'&)#1%/"#4&,6"#1%*"').3&*#*"')*#,*$#&"$'6"'$#t et t + dt <#('64,&)#,%*;3)*$$&."#5 de
,%*"').3&*#-)((*##36)#/"&'é de temps pour cet écoulement unidimensionnel en régime
permanent.

1ère génération de 5
A.23. C;3)&0*)# ,%*"').3&*# -)(ée 5 & par unité de temps et de volume dans un arbre résistance hydraulique, vR 1 Vtet volume V
1 bronchique ayant n générations en fonction de T , Q , R , X et n . Montrer que ce terme 1 1
diverge quand n78 si h1 h A#I."-,/)*#3./)##,%9.00*#.Q# . h& 0,85c2ème génération : Les dimensions
(rayon et longueur) sont multipliées
9*(+,-(3(5+2.501+5(01+(&+--+(.44*)&.-)%$(.1(,:,-;2+(41*2%$.)5+($"+,-(4.,(+<.&-+((41),01+(*+(=*1<(par h par rapport à la génération(1)
$"+,-(4.,(,-.-)%$$.)5+(2.),(41*,#6


F IN DU PR O B L E M E A
3ème génération : Les dimensions
(rayon et longueur) sont multipliées
par h! par rapport à la génération(1)




ième
A.16. Déterminer le nombre N# p$ de bronchioles à la p génération en fonction de p .


A.17. Déterminer le rayon r et la longueur l de la bronchiole de génération p en fonction de p , p p
h , r et l , valeurs pour p&1. 1 1

5/12 6/12
B.25 !"#$%&'%("$%)*+#%,&+-)'%.-&&'%,/-$%0&+$%1-$2+'+3%2+'%&*'"+%4/#%5"00'&&'%2+'%&"%1-$(/$-67%)'%
"3
&*'"+%'$6%)' ) et pour une fréquence de 2 Hz, calculer la valeur numérique de la
10 Pa!s
)-$6"#('% ("5"(675-$6-2+'% )*"667#+"6-/#% # en prenant comme masse volumique la masse
1/&+.-2+'%)'%&*'"+8%



B.26 Les roches en fusion dans le manteau terrestre sont extrêmement visqueuses et ont une masse
volumique très grande, si bien que leur viscosité cinématique $ '$6% )'% &*/5)5'% )'%
c
""221
$%!10 m s . En déduire une propriété importante pour les ondes sismiques de
c
cisaillement qui ont des fréquences de quelques hertz.



F IN DU PR O B L E M E B


A NN E X ES

Données pour les coordonnées cylindriques
!"
))rA A)A
11' ( ' ( ' (
r & z
div A*++
' (
rr r &z
e
z

e
& 1 d df
,-
.*f r r
' ' ((
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12
M

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!!!!!" !" !!" !"
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y grad34f r,,& z*+e e+ e
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56r r &z
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12/12

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