Les calculatrices sont autorisees Les deux problemes sont independants On fera l'application numerique chaque fois que cela est possible Le symbole SI designe l'unite homogene a la

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Les calculatrices sont autorisees. Les deux problemes sont independants. On fera l'application numerique chaque fois que cela est possible. Le symbole SI designe l'unite homogene a la grandeur physique consideree, dans le cadre du Systeme International d'unites. *** N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. *** PROBLEME I L'ASCENSEUR SPATIAL L'ascenseur spatial appartient au domaine de la science-fiction. Le concept, imagine en 1960 par l'ingenieur sovietique Youri N. Artsutanov, fut popularise par le romancier anglais Arthur C. Clarke en 1979 (“The fountain of paradise”). L'idee consiste a envoyer un cable tres resistant au dessus de l'equateur et a s'en servir pour lever des charges en direction de l'orbite terrestre, tel un ascenseur geant. Le but de ce probleme est d'etudier quelques aspects physiques d'une telle realisation. Donnees: Masse de la Terre MT = 5, 98?1024 kg, rayon equatorial de la Terre RT = 6, 38?106 m, constante de gravitation G = 6, 67? 10?11 m3.

  • unite homogene

  • rayon equatorial de la terre rt

  • masse

  • cable

  • equilibre du cable im- plique

  • altitude rtop insuffisante

  • force

  • force d'inertie de rotation dans le referentiel terrestre

  • referentiel de la terrert


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Les calculatrices sont autorise´es. Les deux proble`mes sont inde´pendants. On fera l’application nume´riquechaquefoisquecelaestpossible.LesymboleSIde´signelunite´homog`enea`la grandeurphysiqueconsid´er´ee,danslecadreduSyst`emeInternationaldunite´s. *** N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,`alapre´cisioneta`laconcisiondela r´edaction.Siuncandidatestamene´`arepe´rercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd´enonce´,ille signalerasursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquila´et´e amene´`aprendre. ***
PROBLE`MEI L’ASCENSEUR SPATIAL
L’ascenseur spatial appartient au domaine de la science-fiction.Le concept, imagine´ en 1960 par linge´nieursovi´etiqueYouriN.Artsutanov,futpopularis´eparleromancieranglaisArthurC.Clarke en1979(Thefountainofparadise).Lid´eeconsistea`envoyeruncaˆbletr`esr´esistantaudessusde l’e´quateur et a` s’en servir pour lever des charges en direction de l’orbite terrestre, tel un ascenseur g´eant.Lebutdeceproble`meestde´tudierquelquesaspectsphysiquesduneteller´ealisation. 24 6 Donne´esla Terre: Masse deMT= 5,98×10 kge,laderrTeauotirlaaroy´nqeRT= 6,38×10 m, 11 321 constante de gravitationG= 6,67×10 m.s.kgyoneena`altira´eelc´ac,mruetnasepaledno 1 surfacedelaTerre(´equateur)g= 9,78 m.s, vitesse angulaire de rotation de la Terre par rapport 51 aux e´toiles lointainesΩ= 7,29×10 rad.s.
I.1 Mouvements orbitaux LaTerreestassimil´eea`uncorpsdesym´etriesph´erique.Onne´gligeicilamasseetlinuence delaLune,consid´ere´ecommeunsatellitel´eger.Lesdistancesradialesrontmesur´eesparrtroppas au centre de la Terre.
-I.1.1Trdegrhamp´eavitlrvauoevdrculaueG0deontincsurf`alanantr´egneofreerleTacade ! G, MTetRT. Onpourra appliquer, par exemple, le the´ore`me de Gauss pourG0la`arfsudecae la Terre. Y a-t-il une diffe´rence entreG0etg?
-I.1.2Rappeler la relation entre le rayonrde l’orbite circulaire d’un satellite et sa pe´riodeτ der´evolution.ExprimercerayonenfonctiondeG0.
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-I.1.3e´padoiruojnl,srtiludeoneredvo´eanssmilialuLene,bite`aunantsonoraCree,cllu cercle de rayon 384 000 km. -I.1.4Pour quelle distanceRGSreeraTe´er´rfedlletneiemsotb-iliiltiemnastleelleudnasRT? Comment s’appelle cette orbite ? Ω M Nord e rr e θ θ N O Cable R R Terre top T
Sud Figure 1 I.2 Equilibre du caˆble Lecaˆbledelascenseur(Figure1)posse`deunemasseparunit´edelongueurµ(r)qui peut ´eventuellementd´ependredelaltitude(danslecaso`ulasectionducˆablevarie,ousilecaˆbleest ´elastique).Lecaˆbleestpositionn´e´equateurexteacntmeala`trevlaciledesupposera qu’un. On ´equilibrestableducaˆbleestpossible,re´sultantdun´equilibreentrelaforcedegravit´e,laforce dinertiederotationdansler´ef´erentielTerrestreRT, et la force tensileT(r)du caˆble. -I.2.1Rappeler la diffe´rence eRe ntrelere´f´erentielge´ocentriqueTertserreTleitenerf´´eertlRT. Lequeldesdeuxestleplusprochedunre´fe´rentielGalil´een? -I.2.2ordodecoesspnn´enausendre`errnpeeai´,l1)erf´´eureuqire´herugiF(stienelonDRT, ! lexpressiondelaforcedinertiedentraˆınementFI(r,θ)et de la force de gravite´ terrestre ! FG(r)en fonction de la distancerd’un objet de massem. -I.2.3En tout pointNd’altituderrexeelbapalrusecnfeitiarreeuri´el,paraitesup´erieureducˆ ! une forceT(r) =T(r)!er`u, oT(r)est une fonction de signe positif, dont l’effet est de sopposera`unallongementducˆable.Montrerquele´quilibreducˆableimpliquel´equation suivante:! " 2 R 2T T(r+ dr)T(r) +µ(r)dr rΩG0= 0 2 r -I.2.4etesblˆa`anemierceLnuaetltidueRtopup´erieure`asRGSpar une masseMtop. En supposantlamasselin´eiqueµˆaucdelbconstante, calculer la valeur de la tensionT(r)en fonction deMtopetRtopieure`aursup´eretuoelavp,truoRbase=RT= 6380 km. -I.2.5Montrer que si la masseMtopest trop faible, ou l’altitudeRtopinsuffisante, la tension T(r)uen,re´agitevC.tetevaleurn´egativ,eysonynemedrtvaaiplenncdormepurnersasailoenv setraduiraitvraisemblablementparuneffondrementducˆable.Ende´duiredoncuncrite`rede stabilit´educaˆbledelascenseur.Onsappuierasurl´etudedesvariationsdelafonctionT(r).
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-I.2.6Un caˆble de hauteurRtop= 145 000km est-il stable en l’absence de masseMtop? I.3Masseetr´esistanceducaˆble 2 Le caˆble posse`de un rayonrcet une sectionA=πrappelle contrainte. OnΣ, la valeur de la c 2 forceT(r)par unite´ de section (mdunancesistar´eelL.ˆcba)ud´dennepeleddat´maiaeromuh`eog valeur deΣsa´dpesaesurenavquinedoitpitcrurleueiqΣcpropre a` chaque mate´riau. L’application dunecontraintesup´erieure`aΣctae´iruaislbdemu,ed´eneunraˆıentle´-nonnoitamroferevr´ire,qutias puis´eventuellementensuitesarupture. -I.3.1nit´lleunconebieepxunseiremEuenqΣ? -I.3.2Le mate´riau a une masse volumiqueρ.Exprimerlamasesil´nieuqeefnnoioctendρet Apuis deρetrc. -I.3.3On conside`re un caˆble, de section constante, dont la tension est toujours positive. Mon-trer que la tension du caˆble passe par un maximum.En de´duire que l’e´quilibre du caˆble im-pliquequelemat´eriaudoitr´esister`aunecontrainteaumoinse´galea`Σmaxque l’on exprimera enfonctiondesdonne´esduprobl`eme.Commentlerayonducˆablercasrlidol´eituni-t-eusli de l’e´difice ? -I.3.4Les valeurs nume´riques deρetΣcsont respectivement: 3 9 * Acier:ρ= 7800kg.m etΣc#10SI. 3 9 * Kevlar:ρ= 1440kg.m etΣc#3,6×10SI. Lar´esistancedelacieretdukevlarvoussemble-t-ellesufsantepourassurerlastabilite´de l´edice?LemoduledeYoungdelacierestde200GPa et celui du kevlar de35GPa (1GPa = 9 10Pa). Calculer dans chaque cas l’allongement relatifδ'/'lisantˆableutiquiarecnutpmiuqil ces mate´riaux au voisinage deΣmax. -I.3.5sistsr´eer`ano,eacbrsoe´uspp´essfondsontuelsseedtobunsnarueltcasriopseseLΣmax# 93 100×10 SI, pour une masse volumique d’environ1300 kg.m.Uncˆablespatelainannbutose de carbone serait-il assez solide ?
-I.3.6euurrbqiruafoPeedblˆancmasse optimale, il suffit de faire varier la sectionAdu caˆble avec la hauteurrdecnatsiselbaˆcuteustjointsafsusrpupeuoreoptraleuse´r`no¸qecadacef une tensionT(r)faisant intervenir la contrainte critique. EnΣcet la masse volumiqueρdu mat´eriau,montrerquelamasseline´iqueµ(r)onsioporntpreviedtane`elaenllitnoT. -I.3.7riEcrduo´leteerse´rdiff´ere.equationtIiea2u.i3t.naodstnneecitltlsdee -I.3.8Tracer l’allure de la fonctionT(r)obtenue en fonction der.T(r)peut-elle devenir ne´gative ?On estime que pour lever une charge de 10 tonnes, la tension du caˆble doit eˆtre au 6 moinse´gale`a10ssape´desapeeml´ppsuenirtaenuˆ`egrdesaeslamaequesortrchalasued,N 10% deTelbaˆcudnoxamiladeetsnoimntlatensiucˆableeclaCreluua.losnttelareraleorpp auniveaudusoldanslecasdelacieretduncˆableennanotubes.
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