MATHS100 Année Universitaire

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MATHS100 Année Universitaire 2008-2009 LM100 Méthodes de calcul et statistiques Travaux dirigés 1

  • couche géologique

  • résolution de systèmes d'équations linéaires

  • nombres complexes - vecteurs - matrices

  • épaisseur réelle de la couche


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : edu.upmc.fr
Nombre de pages : 25
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 MATHS100 Année Universitaire 2008-2009                 
  LM100 Méthodes de calcul et statisti   Travaux diri és   
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 Page 5 ...... TD 1 Page 5 ...... I. Page 5 ...... II. Page 6 ...... III. Page 7 ...... IV. Page 8 V.    Page 9 ...... TD 2  Page 9 ...... I. Page 10 ...... II .    Page 11 ...... TD 3 Page 11 ...... I. Page 11 ...... II. Page 11 ...... III. ..... Page 12 . IV.    Page 13 ...... TD 4 ..... Page 13 . I. Page 14 ...... II.    Page 17 ...... TD 5 Page 17 ...... I. Page 17 ...... II.    Page 19 ...... TD 6    Page 21 ...... TD 7    Page 23 ...... TD 8     Page 25 ...... TD 9
SOMMAIRE
Nombres complexes - Vecteurs - Matrices Utilisation des nombres complexes Utilisation de la trigonométrie Utilisation des vecteurs Matrices dordre 2 Matrices dordre 3  Systèmes déquations linéaires Motivations Résolution de systèmes déquations linéaires  Fonctions à une variable Variations et différentielles Etude de fonctions Développements limités Primitives et intégrales  Equations différentielles Equations différentielles du premier ordre Equations différentielles du deuxième ordre  Fonctions à plusieurs variables Fonctions à plusieurs variables  dérivés partielles Différentielles totales  Probabilités  Variables aléatoires et distributions discrètes  Loi normale  Echantillonnage et estimation
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TD 1NOMBRES COMPLEXES - VECTEURS - MATRICES   I. Utilisation des nombres complexes.  1.On considère les deux nombres complexes :z1 =1+2i etz2 = 1+2i. 1.1.Calculer leur somme. 1.2.Calculer leur différence. 1.3.Calculer leur produit. 1.4.Représenter ces nombres complexes dans le plan (O,x,y).  2.On donnez =1+ i. 2.1.Calculer le module et largument dez. 2.2.Calculerz2en utilisant les parties réelles et imaginaires. 2 2.3.Calculerzen utilisant module et argument. 2.4.Représenter ces nombres complexes dans le plan (O,x,y).  3.Calculer module e 2+. t argument de 2ii  4.Factoriser le polynôme suivant : P(x)= x2 +1 .  5.On considère le nombre complexe z=a +ib=(ρ,θ) 5.1.Exprimer la puissance n-ième de z  5.2.Exprimer la racine n-ième de z. 5.3.Calculerutel queu2 = 4, en utilisant les parties réelles et imaginaires. 5.4.Calculervtel quev2 = i, en utilisant module et argument. 5.5.Calculer les racines cubiques de 1.   II. Utilisation de la trigonométrie.  1.Une couche géologique inclinée de 38° est explorée grâce à un forage vertical. On trouve une épaisseur de 45 m. Quelle est lépaisseur réelle de la couche ?  z         
h=45 m
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e
38°
x
34°
2.Deux étudiants, un paléontologue et un géomètre, trouvent près dun village à 7 km de léglise, un squelette que le paléontologue attribue à unRhynchosaurus spenceri. Le géomètre relève la topographie des lieux :  7 km  église E F fossile  96°   H       C café  A quelle distance du café se trouve le fossile?   III. Utilisation des vecteurs.  JGJJG 1. uOn considère le vecteur= (a , b)du plan (O,x,y) et langleθ u et laxe (Oentre le vecteurx). JuJGJuJG(cos , sinθ). 1.1.Montrer que := θ JJG 1.2.Déterminer la valeur de langleθdans le cas où : u= (−1, 1). ù :JJG ) −= ( 1.3.Déterminer la valeur de langleθ .dans le cas o 1, 3 u  2.On observe sur une paroi schisteuse, une linéation (trace linéaire inscrite sur le plan de schistosite) décrite par le vecteurJuJJLG Fig. 1, de longueurL, dazimuthα(dans la direction Nord-Est)Fig. 2, plongeant vers le bas avec un angle de degréδ Fig. 3. Exprimer les composantes du vecteur correspondant dans le repère (O,x,y,z) oùxpointe vers lest,yvers le nord etzvers le haut.   z  Fig.1 Fig.2 JG  ky JG JG  OJJG  Gy iα JJGNα  δ u  NE OiGx  xL  E zM       
JJJG M uL 
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Fig.3 z JG k JJG u Oδ L
IV. Matrices d ordre 2.  1.On donne les matricesA=1111 etB=111. 1 1.1.CalculerC = A + B. 1.2.Calculer la matrice2A. 1.3.CalculerD = AB etE = BA conclure. ; 1.4.Calculer le déterminant deA. 1.5.Calculer la matrice inverseA 1deA. 1.6.Les matricesB,C,DetEsont elles inversibles ?  2.On considère la matrice :A(x=)x12. 2.1.Calculer le déterminant deA. 2.2.Discuter lexistence de la matrice inverseA 1deAen fonction des valeurs dex. 2.3.Calculer la matrice inverseA 1deA.  3.Quelle est la transformation géométrique réalisée par la matricensiscoθθsocinsθθ? 3.1.appliquant cette transformation au vecteur (1, 0).Vérifier-le en 3.2.Calculer le déterminant de la matrice. 3.3.Quelle est la matrice inverse ? Ecrire sans calcul la matrice correspondante. 3.4.Vérifier par le calcul matriciel que les deux matrices sont bien inverses l'une de l'autre.  ce1 04.est la transformation géométrique réalisée par la matriQuelle 01? 4.1.Vérifier-le en appliquant cette transformation à un vecteur quelconque. 4.2.Calculer le déterminant de la matrice. 4.3.Quelle est la matrice inverse ? Ecrire sans calcul la matrice correspondante. 4.4.Vérifier par le calcul matriciel que les deux matrices sont bien inverses l'une de l'autre.   V. Matrices d ordre 3.  1.On donne les matricesA=011111110 etB=111102011. 1.1.CalculerC = A + B. 1.2.Calculer la matrice2A. 1.3.CalculerD = AB etE = BA ; conclure. 1.4.Calculer le déterminant deA. 1 A. 1.5.Calculer la matrice inverseA de 1.6.Les matricesB,C,DetEsont elles inversibles ?  
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2.   
3.
Calculer les déterminants des matrices suivantes en choisissant la méthode la plus adaptée à chacune.
=21 1  B=123122111 ;C=001100100 ;D=312311141 ;E=011011010 A131231 ;
2 0 2 / 2 On considère l'opérateur dont la matrice s'écrit1002/dans le repère (O,x,y,z). 2 / 2 0 2 / 2 Appliquer cet opérateur aux vecteurs unité du repère {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Que peut-on en conclure sur la nature de l'opérateur ? Préciser ses caractéristiques. Quel est l'opérateur inverse ? Ecrire sans calcul la matrice correspondante. Vérifier par le calcul matriciel que les deux opérateurs sont bien inverses l'un de l'autre.
3.1. 3.2. 3.3. 3.4.
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TD 2 Systèmes d'équations linéaires
  I. Motivation.  Déterminer lintersection des trois plans définis par : (P1) :x +2y - z =0 ; (P2) :x +3y +3z =1 ; (P3) : 2x + y + z =1 .   II. Résolution de systèmes d équations linéaires.  Pour chacun des systèmes déquations linéaires suivants :  1.Vérifier si le système est régulier ou non régulier. 2.Etudier lexistence ou non de solutions. 3.Calculer les solutions : 3.1.Soit par la méthode de léchelonnement (Gauss). 3.2.Soit par la méthode des déterminants (Cramer),lorsque cela est possible. 3.3.Soit par la méthode de linversion (en posant AX=Y),lorsque cela est possible.  N.B. : les systèmes déquations non traités en TD constituent un travail personnel à effectuer par létudiant.   SYSTÈMES HOMOGÈNES RÉGULIERS :  x 3 y 2 z 0 (A) z 0 y 32 x 3 x+2 y++2 z===0(a)2xx+y2y3==00 réponse: le système admet une solution unique: le système admet une solution unique ponse qui est la solution nulle :xy 00lution nulle : 0 z=0qui est la sox=0y   SYSTÈMES HOMOGÈNES NON RÉGULIERS :  x+y+2 z=0 (B)x y z=0 x+3 y+4 z=0(b)2xx+4yy2==00 réponse: le système admet une infinité de solutionsréponse: le système admet une infinité de solutions de type :xzy=21z213,z de type :yx=y21,y    
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SYSTÈMES NON HOMOGÈNES RÉGULIERS :
 (C)x2xx++2yyy3++zz3z===110(c)2x+2 y==3 x 3 y 1 +  réponse: le système admet une solution uniqueréponse: le système admet une solution unique qui est la solution non nulle :xyz=115641qui est la solution non nulle :xy=171  SYSTÈMES NON HOMOGÈNES NON RÉGULIERS(ÉQUATIONS LINÉAIRES INDÉPENDANTES):  + − (D)xx3x2++yyy++z3zz===211d2x4 y=1 ( ) −x+2 y=3                       réponse: le système n'admet pas de solutionréponse: le système n'admet pas de solution   SYSTÈMES NON HOMOGÈNES NON RÉGULIERS(ÉQUATIONS LINÉAIRES DÉPENDANTES):  ( ) − + =3 (E)xxyy++zz2==x2e2x1y2y4= −6 3 x+y+5 z=5 réponse: le système admet une infinité de solutionsréponse: le système admet une infinité de solutions = +   = −  de type :xyzz2131212130, type :z deyxy12+03,y
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TD 3 Fonctions à une variable
  I. Variations et différentielles (exercices traités en cours) .  On considère : a.un carré de côtéa =10 cm. b.un cercle de rayona =10 cm.  Pour chacun de ces deux cas : 1.Déterminer la variationδA du périmètreAet la variationδSde la surfaceS, lorsqueavarie deδa. CalculerδAetδS, pourδa =0,1 cm puisδa =0,001 cm. 2.clluaCsed rel ées érivddaA et es lif ddadSet, sell eréfeitndAdeA(a)etdSdeS(a), en fonction deaetda. 3.Déterminer les erreurs relatives commises sur les calculs deδA etδS, si on utilise respectivement les différentiellesdAetdSau lieu des variations exactesδAetδS, en fonction deaetδa. N.B : l'élément différentieldas'identifie alors avec la variationδa. Calculer ces erreurs pourδa =0,1 cm puisδa =0,001 cm.   II. Etude de fonctions.  Faire une étude complète de la fonction : f :\+ \ a       x 6 b2+xx2où a et b sont deux constantes réelles strictement positives.   III. Développements limités.  1.Utilisation des développements limités pour le calcul numérique. 1.1.Calculer au voisinage de x= 1 1l'ordre 3, le développement limité de :0 jusqu'à  ;  1+2  ; e 2 x ; ln(1+3 x)  1.2. ; 15 1En déduire les valeurs numériques de :0,01 0,99 ; e  1.3.Au voisinage deα =termes non nuls du développement limité de cos 0, déterminer les 3 premiers α puis de sinα et préciser lordre de ces développements.  1.4.En déduire le développement limité de tanαà lordre 3 au voisinage deα =0.   2.Variation de la pesanteur avec l'altitude. On rappelle que le poids d'un objet de massemplacée à une altitudezest la force de pesanteur : P( )= MG m z(R+z)2 où M est la masse de la terre et G la constante universelle de gravitation. 11
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