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PC 2010-2011 DEVOIR MAISON N° 13 Lundi 14 février ! Lundi 21 février - Oscillateurs de relaxation (CCP PC 2010)

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Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : cpge-brizeux.fr
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PCSI B
Math´ematiques
D e v o i rM a i s o n1 3
Lyc´eeBrizeux-anne´e2009-2010
Inverses`adroiteetsurjectivite´.
` A rendre pour le mercredi 31 mars. Vousdevezapporterleplusgrandsoin`alare´dactioneta`lapertinencedesargumentsavance´s.Lesre´sultats doiventeˆtreencadre´s.
SoientEunKespace vectoriel etfun endomorphisme deE.On dit quefnunievsr`edaortieadmets’il existeg,endomorphisme deE, tel que fg= IdE. Dans ce cas, on dit quefestteoielbirda`nisrevet on dit quegestitesr`edaornunievdef. Onseproposedecaracte´riserlesendomorphismesf´teetpuuidsrooniuseel`qadniveeqrutineduensaso´sp exemplesdetelsendomorphismespourdie´rentsespacesvectoriels. On rappelle que sifsi´eeugnndneoromsihpedemdE,alors
0 avec la convention quef= IdE.
i f=f◦ ∙ ∙ ∙ ◦f | {z } i fois
PartieI-Caract´erisationdunendomorphismeinversiblea`droite
fse´dengihirpedsmenunmodouKespace vectorielE. 1. Onsuppose quefioeta`rd.stineiblevers (a) Montrerquefest alors surjectif. (b) MontrerqueE= ker(f)Im(g). ˜ (c)End´eduirequef ,la restriction def(Im`ag),est un isomorphisme de Im(g) surE.Quelle est la ˜ re´ciproquedef? 2. Onsuppose quefest surjectif et que ker(fpl´eme)natdmetunsupiaerFdansE. ˜ (a) Montrerquefla restriction defa`Fest un isomorphisme deFdansE. (b)End´eduirequefnitumeadetiorda`esrevngque l’on explicitera. 1 3. Conclurequefinesttseevnibisra`eloidrsiteseetemulfest surjective et ker(f´lppusnuriatnemeedmet)a dansE. i i 4. Montrerque sifetioesrerda`tumenvniadg,alorsfadmetgdaorti.enievsr`epour 5. Soientf1etf2des endomorphismes deE.Montrer que sif1etf2rsselbrda`etioola,reisitvnsnof1f2 estinversiblea`droite.
´ Partie2-Etudedope´rateursdiffe´rentiels
IciEeneligesd´Respace vectorielC(R,R). 1 Onpeutenfaitmontrerquetouts.e.v.admetunsuppl´ementaire.Nouslemontreronsdanslecasparticulierou`Eest de dimension finie.
1
ope´rateurdie´rentieldordre1 0 SoitrR.Pour toute fonctionfE,on pose Δrf=fr f. 1. Montrerque Δrqa`iufEassocie Δrf,est un endomorphisme deE. 2. Montrerque kerΔr={t7→λexp(r t) :λR}. 3. SoitfE.Montrer qu’il existe une unique fonctionyEtelle que Δry=fety(0) = 0.(1) 4.Ende´duirequeΔr`edaevsrnunie`ede.roittcejrustsesspoleelutqeeiv ˜ Indication.on pourra montrer que l’application Δrqiua`fEassocieyiiereeent(1)estldi´ne´ena estuninverse`adroitedeΔr.
op´erateurdi´erentieldordre2. Onveutr´esoudrele´quationdi´erentielle 00 0 y+a y+b y=g(2) ou`aetb;snodtse´reeslgE.xracadeuinesuqaesiit´ieesscoOnsupposedaatquncioacarert´alsntiuseuqee´l r´eellesr1r2. 00 0 ´ Etantdonne´gE,on posera,bf=f+a f+b f. 1. Montrerquera,bqui`afEassociera,bfest un endomorphisme deE. 2. PourtoutfE,calculer (Δr1Δr2)(f) et (Δr2Δr1)(f).Que dire de Δr1Δr2et de Δr2Δr1? 3.D´eduiredecequipre´c`edequera,ba`esrevn.etiordadmetuni 4.D´eterminerkerra,blaa`lePadidee1unartiment.ique 5.End´eduirelensembledessolutionsde(2).
Partie3-Ope´rateurauxdiff´erences
IciEd´segienelKespace vectorielK[X].´uqnatepparelle´nedOtnnonN,Kn[Xigned´ese.v.les.sed] polynoˆmesa`coecientsdansKdeou´egal`aedrge´ni´freeirun.
notations ´ etEdtna´nnoPK[X],on note Δ(P´eedomnˆlypole)(ΔrapinP) =P(X+ 1)P(X). eniOnd´el(maliltfaNi)i:suivantedesomNedepoesnˆlyinamere`notwaled i1 Y N0= 1 et pour tout entieri >0, Ni= (X+k). k=0
Premi`erespropri´ete´sdelop´erateurauxdie´rences 1. Montrerque Δ est un endomorphisme deK[X]. 2. Montrerque siPK[Xededrge´]estn1,alors ΔPestdedegr´en1. n+1 3.End´eduirequekerΔ=K0[X] et que si deg(P) =n0,alors ΔP= 0. ´ 4. SoitPK[X].prilbatEurecr´aruresncreiNque i  X i i ik ΔP= (1)P(X+k). k k=0 Indication.ilUtae´n´tirresiilalubedulrmfoladeonedemoˆniirerinspetsedeΔaritnots´dmeedal Newton.
2
Proprie´t´esdelafamilledespolynoˆmesdeNewton 1. MontrerqueNier´edomegedopnuˆnyltsei. 2. SoitiN,montrer que ΔNi=i Ni1. 3.Onseproposedemontrerparre´currencesurn= deg(P) la«formule de Taylor»suivante : n X i P)(0) P=Ni. i! i=0 (a)Montrerquelaformuleestvraiepourtoutpolynˆomededegr´e0.
(3)
Onsupposelaformulee´tabliepourtouslespolynˆomesdedegre´n0.SoitPK[Xe´rgdede] n+1 X i P)(0) n+ 1.On poseQ=Ni. i! i=0 (b)Enappliquantlhypoth`eseder´ecurrence`aΔP,qeriΔeudneude´Q= ΔP. (c)End´eduirequePQpuis queker ΔP=Q. (d) Conclure. 4. Montrerque siPedrgede´ntrisce´n X P=αiNi, i=0 i P)(0) alorsαi= pour0in. i! n P)(0) n Indication.e´dorabdrilbatαnpalpnetnΔqiauprocpuisrdep´edechror´e(chronpee=ruce-n! rence descendante). 5. Montrerque pour tout entiermdeg(P),on a : m i X P)(0) P=Ni. i! i=0 6.Ende´duirequeKm[X] = vect({Ni: 0im}).
Inversibilit´e`adroitedelope´rateurauxdi´erences
´ Etantdonne´Pnf´erieurou´egala`ddege´riem,on pose
m X i P)(0) ˜ ΔP=Ni+1. (i+ 1)! i=0
˜ 1.Montrerquelad´enitiondupolynoˆmeΔPitneledsapdneped´neermtel quemdeg(P). ˜ ˜ 2.MontrerqueΔqui`aPK[X] associe ΔPest un endomorphisme deK[X]. ´ ˜ 3.EtablirquepourtoutpolynoˆmePK[X],Δ)(P) =P. 4. Conclure.
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