PC DEVOIR MAISON N° Lundi fevrier Lundi fevrier Vidange d'un réservoir CCP PC Ecoulement le long d'une stalactite ext Centrale PC

De
Publié par

PC 2011-2012 DEVOIR MAISON N° 15 Lundi 6 fevrier ? Lundi 27 fevrier - Vidange d'un réservoir (CCP PC 2003) - Ecoulement le long d'une stalactite (ext Centrale PC 2009)

  • volume de fluide

  • tube de vidange cylindrique, de longueur l2 et de section s2

  • réservoir

  • nd ghv nd

  • étanchéité

  • dv dv dt

  • expression du théorème de bernoulli en régime


Publié le : lundi 18 juin 2012
Lecture(s) : 155
Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 6
Voir plus Voir moins

PC 2011-2012



DEVOIR
MAISON N° 15


Lundi 6 fevrier ➔ Lundi 27 fevrier


- Vidange d’un réservoir (CCP PC 2003)
- Ecoulement le long d’une stalactite (ext Centrale PC 2009) 4 5
PROBLEME II - VIDANGE D'UN RESERVOIR Étanchéité P Étanchéitéa

La partie I est indépendante des parties II et III.
&
Rappel d’analyse vectorielle : P ’0!!!!!" E""" "
div fu#$fdiv u u.grad f avec f fonction scalaire et u vecteur quelconque. !" ! !" H B ’
h ’x
DOn considère un grand réservoir de section cylindrique S . Ce réservoir hermétiquement fermé, 1 B
contient de l’eau (masse volumique %), que l’on assimilera à un fluide parfait, emprisonnant ainsi " EV 1 g un matelas d’air à la pression P . L’air emprisonné sera assimilé à un gaz parfait. 0
Un tube plongeur, de section &' immergé dans l’eau jusqu’à la profondeur h , est relié à l’extérieur L 0 1 S1où règne la pression atmosphérique P . Une étanchéité parfaite est réalisée entre le couvercle du a
réservoir et le tube plongeur. L’extrémité du tube plongeur est munie d’une électrovanne EV , qui 1
est initialement fermée (voir figure 1).
Un tube de vidange cylindrique, de longueur L et de section S , est raccordé sur le fond du 2 2
réservoir ; ce tube est muni d’une électrovanne EV placée à son extrémité, débouchant à la pression z 2
S L2atmosphérique P . 2a

Étanchéité P Étanchéitéa
z = 0 EV2
A
&

P 0
- Figure 2 - Après ouverture de la vanne EV 1

H h0 I.2. A l’instant t = 0, l’électrovanne EV est ouverte brusquement, EV restant fermée. 1 2
EV 1 On supposera que les conditions sont telles que P > P . Le liquide monte donc dans le tube B a
B plongeur pour passer de B à B’, points séparés d’une hauteur x. Une nouvelle pression P ’ s’établit 0
"
au dessus du liquide, ainsi qu’une nouvelle hauteur de la surface libre notée h’ (voir figure 2). g

L 1 I.2.1. Donner l’expression de P ’ en fonction de x, h’ et P en particulier. 0 a
S1
&
I.2.2. On pose ( # . Ecrire une relation traduisant la conservation du volume d’eau en fonction
S1
des paramètres h , h’, x et (. Que devient l'expression de h - h’ à l’ordre 1 en ( quand ()<< 1 ? 0 0

Dans toute la suite du problème on utilisera la relation simplifiée à l’ordre 1.

S2 L2 I.2.3. En supposant que la température de l’air emprisonné ne varie pas, écrire une relation faisant
intervenir les paramètres H, h’, h , P et P '. 0 0 0

I.2.4. Exprimer la pression P ’ en fonction de P , (, H, h et x. 0 0 0
EV z = 0 / x ,2
Montrer que cette expression peut se mettre sous la forme : P '# P -10( * 0 0- *A H 0 h. 0 +
- Figure 1 - Etat initial : avant ouverture des vannes Donner en fonction de P , x, h et ( en particulier, l’expression de la pression P ’. a 0 0
I. Etude préliminaire I.2.5. Déterminer en fonction de P , P , H, h , (, % et g , l’expression de x en adoptant toujours le 0 a 0
I.1. Les vannes EV et EV étant initialement fermées, calculer la pression P au point B en fonction 1 2 B premier ordre en ( .
de P et h en particulier. 0 0
Tournez la page S.V.P. 6 7
I.3. On supposera désormais que P > P avant l’ouverture de la vanne EV . La surface libre du réservoir est maintenant directement reliée à l’atmosphère (voir figure 3). La a B 1
Que se passe t-il dès l’ouverture de la vanne EV ? vanne EV est ouverte et le régime permanent est supposé atteint instantanément. Le volume 1 2
A l’équilibre, donner la valeur de x et de la pression P . B instantané de fluide contenu dans le réservoir est désigné par 1 , et celui contenu dans le tube de 1
Déterminer l’expression de la nouvelle pression d’équilibre P ' au-dessus du fluide en fonction de 0 vidange de longueur L par 1 . On supposera de plus que S >> S . 2 2 1 2
P et h en particulier. a 0
II.1. En supposant un régime quasi-stationnaire, déterminer l’expression de la vitesse au point A en
I.4. On se place toujours dans le cas Pa > PB. La vanne EV2 est maintenant ouverte. On attend fonction de V et h(t). E
l’établissement du régime permanent de l’écoulement dans tout le volume de fluide. Les répartitions
II.2. Exprimer le rapport V /V . E Ade vitesse du fluide dans les sections S et S sont supposées uniformes. La vitesse de la surface 1 2
Quelle condition doit-on appliquer sur les diamètres D et D (diamètres respectifs des sections S et 2 1 2libre sera notée V , et celle dans la section S sera notée V , A appartenant à la section de sortie S E 2 A 2
S ) pour que V n’excède pas 1% de V . 1 E A(voir figure 2). On supposera de plus que le niveau de l’eau reste toujours au-dessus du niveau de B.
Donner alors l’expression de V dans ces conditions. AEcrire une relation entre les vitesses V , V et des données d’ordre géométrique. A E
Cette relation sera vérifiée dans toute la suite du problème. une liant V et V , où D est un point au même niveau que B. D A
II.3. Pour h >L , écrire l’équation différentielle vérifiée par la hauteur h(t). 0 2
1/2
/,
II.4. Dans les mêmes conditions que précédemment, donner l’expression de h en fonction du temps -*
2gL$L!"12 et déterminer le temps t au bout duquel le volume 1 a été vidé. 1 1En déduire que la vitesse en A s’exprime sous la forme : V # -2A Calculer V et t . Données : S /S = 1/100, L = 1 m, h = 2 m, g = 9,81 ms . A 1 2 1 2 0S210fg ( !"S.+1.+ III- Théorème de Bernoulli en régime instationnaire.
où f et g sont deux fonctions que l’on déterminera. On rappelle l’équation locale de l’écoulement parfait d’un fluide (équation d’Euler) :
"
!!!!" !!" !!!!"" "Que devient cette expression lorsque ( tend vers zéro et S /S << 1 ? Quel résultat connu retrouve-t- 4V112 1 "2$$gradVVrot5V#0gradP$g !"!"on ? 4t 2 %
" "
où g désigne le champ de pesanteur, V le vecteur vitesse et P la pression. II. Vidange du réservoir
Pa Le fluide est, de plus, supposé incompressible et l’écoulement irrotationnel, mais l’écoulement est
non permanent.

III.1. Ecrire, dans ces conditions, l’équation de continuité.
Montrer, en précisant bien toutes les hypothèses, que l’équation d’Euler se ramène à :
"
2 !!!!""% 4V
$Vg.grad %H# 0 !"
P a 2 4t(& ) 1
2E 1 P V3 où H désigne la quantité $ $ z , appelée charge du fluide.
%g 2g
Cette dernière équation constitue l’expression du théorème de Bernoulli en régime non permanent.

" III.2. Soit la surface fermée &!t"')de volume)1(t), variable dans le temps. g
S1 En intégrant l’expression du théorème de Bernoulli en régime non permanent sur le volume 1(t),
montrer que :
"
2"" % 4Vh(t) h (t = 0) 0 %1gHV.0nd&$#d '66 666&!"t 1!"t 2 4t#$$%$$& #$$%$$&
I I1 2
S 2 L2 On se propose d’appliquer la relation précédente à l’établissement du régime de vitesse en A.
A l’instant t =0, la vanne EV est ouverte de manière instantanée. 2
-Figure 3-
1 Dans toute la suite du problème, le volume 1(t) correspond au volume délimité par la surface &(t) 2 z = 0 !& ) 2 A entourant entièrement et exclusivement les volumes 1 (t) et 1 (t). 1 2


Tournez la page S.V.P. 8
III.3. Evaluation du terme I1
" "" "
III.3.1. Montrer que l’intégrale bilan I se ramène à : I #%%gHV..nd&$ gHV nd& où & 1 11 66 66&&12
et & désignent les 2 surfaces libres du fluide (voir figure 3). 2
En déduire que I#0%gV()t S H A H E où V(t) désigne la vitesse en A durant le régime !" ! "12
d’établissement.

III.3.2. Donner les expressions de la charge du fluide H(E) au niveau de la surface libre et H(A) au
niveau de la sortie du tube de vidange.
Montrer que, si la vitesse de descente de la surface libre V est négligeable devant la vitesse en A, E
2/,Vt! "
l’expression finale de I s’écrit : I#0%gV t S h()t . 1 !"-*12
2g.+
III.4. Evaluation du terme I2

" "% 4 % 422III.4.1. A quelle condition peut-on écrire : Vd 1 7 Vd1 !" ! "666 6661144tt

III.4.2. Dans toute cette question, la notation [X] désignera l’ordre de grandeur de la quantité X.
" 22:;En admettant que : Vd 1 # V 1 , où 1 est le volume de fluide considéré, montrer que : 8989666<=1
2
" /,S22 22Vd 1#0V!"t S!"h L$V!"tLS. -*12 26661 #$%&S.+1#$$$$%$& !"B
!"A
Toujours en raisonnant sur les ordres de grandeur et en considérant que h et L sont du même ordre 2
de grandeur, montrer que (B) >> (A).
2
4Vt% !"
En déduire que : IL# S . 222
2 4t

III.5. Les intégrales I et I étant exprimées, montrer que l’équation différentielle vérifiée par la 1 2
/,1 dV dV dt
vitesse V(t) en A est : $# -*
VV0$VVVLAA.+A 2
où V est la vitesse en A, déterminée en régime stationnaire à la question II.2. On considérera que la A
vitesse V , correspondant au régime stationnaire, ne varie pas pendant le temps d’établissement du A
régime de vitesse en A.

III.6. En déduire l’expression de la vitesse V(t) en A en fonction du temps et de L . 2
Représenter l’allure de V(t) et dessiner l’asymptote.

III.7. Soit le temps t au bout duquel la vitesse du fluide V(t) en A vaut 99% de la vitesse du 0,99
régime stationnaire V . A
>L2Montrer que t # où > est une constante que l’on calculera. 0,99
VA
Calculer t en prenant comme vitesse V la vitesse calculée à la hauteur h . 0,99 A 0l’évolution de V durant le régime transitoire. L’hypothèse effectuée sur V en III.5. paraît-A A
elle justifiée ?


Fin de l’énoncé
PHYSIQUE II Filière PC PHYSIQUE II Filière PC
PHYSIQUE II Filière PC
!"#$%#"&'($)*+"%&,'(*-)*. "#$%&'!(!)!*+&,,'--'.'/%!01'#+!,+$!+/'!,%#-#2%&%'
!"#$%&''"((")"*+#,-".%#'%$#%*"#'%$/.0"#"'+#%* !"#$%&'( *+,'-'./$0&'01$2'345$6&7&2/'75086&
123*4)5*"#+$5'#04%$.*+#67.$+&"#89#:%&#;4%"#%*
P*#3+%,&"#,.*'#%*#1$")&"$#+")1'#%*#304%(")"*+#&*04)1$"''&D("#"+#'+.+&4**.&$"$<("#"''"*+&"(#,.*'#(.#/4$).+&4*#,"#'+.(.0+&+"'=
,-".%#6).''"#@4(%)&:%"# #"+#@&'04'&+3#,K*.)&:%"# #%*&/4$)"'#"+#04*'+.*+"'9>&*'&?#'%$#(.#@4A+"#,-%*"#B$4++"#4C#$%&''"(("#%*"
'%$#%*#1(.*#&*0(&*3#/.&'.*+#%*#.*B("# #.@"0#(-24$&Q4*+.("#60/=#!B%$"#R9=#P*#*4+"".%#02.$B3"#"*#0.$D4*.+"#,"#0.(0&%)?#,"'#04*0$3E
56#(-31.&''"%$#,%#!()#(&:%&,"#G#(-.D'0&''"# ?#'%114'3"#%*&/4$)"#"+#04*'+.*+"#"++&4*'#,"#0.(0.&$"#.11"(3"'#'+.(.0+&+"'#1"%@"*+#'"
4*#02"$02"#%*#02.)1#,"'#@&+"''"'#,"#(.#/4$)"#%7"# #%6"#$4) =#P*#$.11"(("6/4$)"$#"+#0$4F+$"#G#1.$+&$#,"#(.#@4A+"#60/=#!B%$"#H9
(-3:%.+&4*#,"#S.@&"$ET+4U"'#:%&#1&(4+"#(-304%(")"*+#I1.$#1$30&1&+.+&4*#,%#0.$D4*.+"#,"#0.(0&%)#'"(4*#(.
$3.0+&4*#02&)&:%"#I# 8% )-------- # $3'"9:!! % 3= 48&2+ -
!" ! 2/!0 " +!"!0 +!+ +!" "#* !!0 !'# +++++3 3 2$"1 !"#$%&'98=>=H9 V4*+$"$#:%"#%6"#$4#*"#,31"*,#1.'#,"# 6=
!.#0$4&''.*0"#,"#(.#'+.(.0+&+"#"'+#1&(4+3"#1.$#(.#,&/E W4))"*+# '"# '&)1(&!"*+# .(4$'# ("'# "J1$"''&4*'# ," )6/%'&4*#,%#,&4JK,"#,"#0.$D4*"#$";"+3#1.$#(.#'4(%E 8% !8&#"+#,"# %#X
+&4*#,.*'#(-.+)4'125$"#67.$+&"#889=# )28=>=N9 YJ1(&0&+"$# (.# 1$4;"0+&4*# ,"# (-3:%.+&4*# ,"
L"#)M)"#(4$':%"#,"#(-".%#,"#1(%&"#$%&''"(("#"*
!"#$%&') S.@&"$ET+4U"'#'%$#) #"+#"*#,3,%&$"#(-"J1$"''&4*#,"#(.42&@"$#'%$#%*#B.$,"E04$1'?#4*#4D'"$@"#'4%@"*+#(.
1$"''&4*#:5#"*#/4*0+&4*#,"# ?# ?#4?# ?#3#"+#,"#(.#1$"'E
/4$).+&4*# ,"# '+.(.0+&+"'# ,"# B(.0"# 6!B%$"# N9=
'&4*# : # &)14'3"# 1.$# (-.+)4'125$"# G# (-&*+"$/.0"0>1$5'#.@4&$#3+%,&3#("'#04*,&+&4*'#*30"''.&$"'#G
(&:%&,"E.&$=
("%$#/4$).+&4*#67.$+&"#8889#4*#3+%,&"#("%$#0$4&'E
8=>=R9 Z+.D(&$#(-3:%.+&4*#,&//3$"*+&"(("#,4*+#"'+#'4(%+&4*#%4"##"+#"*#,3,%&$"'.*0"#1&(4+3"#1.$#(.#,&//%'&4*#+2"$)&:%"#67.$+&"
'4*#"J1$"''&4*#"*#/4*0+&4*#,"#43?# ?# #,"#(.#@&'04'&+3#0&*3).+&:%"##! #"+#,"8O9#"+#"*!*#4*#+"*+"#,-&*+"$1$3+"$#("'#4*,%(.E
,"%J#04*'+.*+"'#,-&*+3B$.+&4*=+&4*'#,"#("%$#'%$/.0"#67.$+&"#O9=
L.*'#+4%+#("#1$4D(5)"?#("#$3/3$"*+&"(#+"$$"'+$" 8=>=[9 \%"(("#"'+#(.#04*,&+&4*#.%J#(&)&+"'#&)14'3"#1.$#("#1(.*#&*0(&*3#"*
"'+#'%114'3#B.(&(3"*?#) #"'+#%*#@"0+"%$E%*&+.&$" 4 # 0#X#P*#*3B(&B"#(.#@&'04'&+3#,"#(-.&$=#Y*#04*'&,3$.*+#%*#3(3)"*+#,"#'%$/.0"#9;2
4$&"*+3# '"(4*# (.# @"$+&0.("# ,"'0"*,.*+"# "+# (" ,"#(-&*+"$/.0"#".%E.&$#'.*'#).''"?#;%'+&!"$#(.#04*,&+&4*#.%J#(&)&+"'#I
02.)1#,"#1"'.*+"%$#33# ) #"'+#%*&/4$)"#.@"02 %
$2 ------ # 0=3 # 9$ 8 m s =#P*#1$"*,$.#B.$,"#G#*"#1.'#04*E 4"#45#
/4*,$"#) #"+#("#@"0+"%$#%*&+.&$"#) #:%&#"'+#&*+$4E2 4 8=>=]9 >02"@"$#(.#,3+"$)&*.+&4*#,"#%4"##"*#/4*0+&4*#,"# ?#3?##! ?#45#"+# =
,%&+# ,.*'# 0"$+.&*"'# 1.$+&"'# 14%$# $"13$"$# (.
8=>=^9 Y*#,3,%&$"#:%"#("#,3D&+#@4(%)&:%"#14%$#%*"#1$4/4*,"%$#<)#'"(4*#,&$"0+&4*#1"$1"*,&0%(.&$"#G#(-304%(")"*+= =
@.%+#I
3
3sin 5 <
1 # ------------------------- 6H9
3
Concours Centrale-Supélec 2009 1/13 Concours Centrale-Supélec 2009 2/13
PHYSIQUE II Filière PC
*+:'-',;;6"4</"52'<$='>/<6<4/"/&>
P*#3+%,&"#,3'4$).&'#(-304%(")"*+#,-".%#("#(4*B#,-%*"#'+.(.0+&+"#$3"(("#,-.J"#02
"+#,"#$.K4*#>2"# #14%$#(.:%"(("#4*#1"%+#,3!*&$#%*#.*B("# "#2 #(40.(#60/=#!B%$"#[9
'%$# ,"'# 302"(("'# ,"# +")1'# +"(("'# :%"# (.# 0$4&''.*0"# ,"# (.# '+.(.0+&+"# "'+
&)1"$0"1+&D("#I#>2"# #"+# "#2 #*"#,31"*,"*+#1.'#,%#+")1'=#
L%#/.&+#:%"#52"# % >#"+
:%"#>#"+# #@.$&"*+#,4%E
0")"*+#.@"0#2?#4*#1"%+
"J1$&)"$#("#,3D&+#@4(%E
)&:%"#12"# #G#+$.@"$'#("
1(.*#,"#04+"#2#G#(-&*'E
+.*+# &# "*# %+&(&'.*+
(-"J1$"''&4*#6H9#3+.D(&"
"*#8=>=^9#"*#K#$")1(.E
_.*+#<#1.$#2 >2"# =
8=`=H9 a#:%"(#"*,$4&+
,"# (.# '+.(.0+&+" '#
(-"J1$"''&4*# ,"# 12"#
.&*'&# 4D+"*%"# "'+E"(("
"$$4*3"#X
8=`=N9 !"# ,3D&+
12"## 0 # 1 # "*# 2.%+0 !"#$%&'?
,"#(.#'+.(.0+&+"#"'+#'%1E
14'3# &*,31"*,.*+# ,%
+")1'=#7$414'"$#%*"#)3+24,"#,"#)"'%$"#"J13$&)"*+.("#,"#1 =0
8=`=R9 V4*+$"$#:%"#(-31.&''"%$#,%#!()#5#"'+#,"#(.#/4$)"#I
43! $13!
5## "#>sin 6N9$
4C## #"'+#%*"#(4*B%"%$#0.$.0+3$&'+&:%"#:%-4*#"J1$&)"$.#"*#/4*0+&4*#,"#1 ?#3?# =$ 0
$1
8=`=[9 74%$# %*"# '+.(.0+&+"# ,"# 0.(0.&$"# 4*# 1$"*,# 1 # 50 mL h ?0
>##>2"## 0 5cm#"+#"#2 # 0 # ! 2=#!.#@&'04'&+3#0&*3).+&:%"#,"#(-".%#@.%+0
$6 2 $1
# 10 m s =W.(0%("$## ?#5 #52"## 0 #"+#(.#@&+"''"#)4K"**"# %"#2 # 0 #,3!E$ 0 ?
*&"#04))"#(.#@&+"''"#,-%*#304%(")"*+#%*&/4$)"#:%&#.%$.&+#("#)M)"#,3D&+#@4(%E
)&:%"=
8=`=]9 YJ1(&0&+"$#%*#*4)D$"#,"#b"K*4(,'#.''40&3#G#0"+#304%(")"*+#"*#.,41E
+.*+#5 #04))"#,&'+.*0"#0.$.0+3$&'+&:%"=#!"#0.(0%("$#*%)3$&:%")"*+#.@"0#("'0
@.("%$'#,"#(.#:%"'+&4*#8=`=[=#W4))"*+"$=#
$1
8=`=^9 !"#)4,5("#*-"'+#@.(.D("#:%"#'&#5>! % 10 =#\%"(("#04*,&+&4*#*%)3$&:%"
"*#,3,%&+E4*#'%$#>#X
Concours Centrale-Supélec 2009 3/13

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.