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PC 2011-2012 DEVOIR MAISON N° 5 Lundi 10 octobre ? Lundi 17 octobre - Effets de moyenne (CCP PC 2009)

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Publié le : lundi 18 juin 2012
Lecture(s) : 59
Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 4
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PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010
D e v o i r d e v a ca n ce s
A rendre pour le mercredi 4 novembre.
Vousdevezapporterleplus grandsoin`alar´edactioneta`la pertinencedesarguments avanc´es.Lesr´esultats
doivent ˆetre encadr´es.
Les exercices sont a` faire en priorit´e. Ils sont de type exercices de TD. C’est l’occasion de reprendre le cours
dans son int´egralit´e et les exercices trait´es.
Les deux premiers probl`emes ont d´eja ´et´e donn´es mais aucun d’entre vous ne les a vraiment trait´es. A
reprendre donc.
Le dernier probl`eme est pour vous entraˆıner avec un peu de g´eom´etrie.
N’h´esitez pas a` poser des questions sur le forum pendant les vacances.
Exercice 1. Des calculs de somme
1. Soit k∈N. Calculer X

ζ∈Un
en fonction de k.
2. Soit n∈N. Etablir que
nX k 1
= 1− .
(k+1)! (n+1)!
k=0
3. Montrer par r´ecurrence sur n∈N
nX n n= 2 .
k
k=0
Exercice 2. Calcul de primitives
D´eterminer des primitives des fonctions suivantes. On d´eterminera au pr´ealable un intervalle sur lequel
consid´erer chaque fonction et assurant l’existence d’une primitive.
t1. t7→ e sin(2t).
12. t7→ .−t1−e
´ ´Exercice 3. Des equations differentielles
001. On veut r´esoudre y +y = cotanx.
(a) Indiquer un intervalle sur lequel cotan est d´efinie et continue.
(b) D´eterminer une solution particuli`ere sous la forme λ(x) sin(x).
(c) En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle.
1
oseorMvaii5Dn2. On veut r´esoudre sur ]0,+∞[
00 0
xy +y = x.
0(a) D´eterminer y .
(b) En d´eduire les solutions d´efinies sur ]0,+∞[ de l’´equation diff´erentielle.
(c) Faire de mˆeme sur ]−∞,0[. Existe-t-il des solutions d´efinies surR?
3. R´esoudre surR
00 0 2 −t
y +2y +5y = (t +1)e cos(2t).
0D´eterminer la solution z de l’´equation qui v´erifie les conditions initiales z(0) = 0 et z (0) = 1.
´Exercice 4. Trigonometrie
R´esoudre les ´equations suivantes :

π 4π1. tan 3x− = tan x+ ;5 5

2. sinx+ 1+ 2 cosx−1 = 0.
Proble`me 1. Une involution du plan complexe. Bis repetita
Soient α et β des nombres complexes; f et g les applications deC dans lui-mˆeme d´efinies parα,β α,β
f (z) = αz +β ; g (z) = αz¯+β.α,β α,β
`1. A quelle condition sur (α,β), f est une bijection deC dans lui-mˆeme? Mˆeme question pour g .α,β α,β
2. Soient λ et μ des nombres complexes.
(a) Montrer que f = f si et seulement si (α,β) = (λ,μ).α,β λ,μ
(b) Montrer que g = g si et seulement si (α,β) = (λ,μ).α,β λ,μ
3. Soit h : C→C une application. On dit que h est une involution deC si h◦h = Id .C
(a) Montrer que f est une involution si et seulement si (α,β) est solution d’un syst`eme d’´equationsα,β
que l’on pr´ecisera.
(b) Montrer que g est une involution si et seulement si (α,β) est solution d’un syst`eme d’´equationsα,β
que l’on pr´ecisera.
4. En d´eduire que
(a) f est une involution si et seulement si (α,β) v´erifie α =−1 ou (α,β) = (1,0).α,β
θ2 iθ i
2(b) g est une involution si et seulement s’il existe (r,θ)∈R tel α = e et β = ire .α,β
` ´Probleme 2. Une equation fonctionnelle. Bis repetita
2 2Le but est de d´eterminer l’ensemble des fonctions f ∈C (R,R) (A toute fin utile, rappelons que C (R,R)
d´esigne l’ensemble des fonctions 2 fois d´erivables surR et donc la d´eriv´ee seconde est continue) qui v´erifient
pour tout x∈R :
00
f (x)+f(−x) = x cos(x). (1)
La deuxi`eme partie utilise la premi`ere.
2Parties paire et impaire d’une application
Nous allons ´etablir le r´esultat suivant.
Pour toute application f ∈F(R,R), il existe un unique couple (g,h)∈F(R,R)×F(R,R), ou` g est paire et h
est impaire, tel que
f = g+h (2)
+ −L’application g est la partie paire de f et est not´e f ; l’application h est la partie impaire de f et est not´e f
1. Soient g ∈ F(R,R) une application paire et h ∈ F(R,R) une application impaire telles que (2) soit
v´erifi´e.
Etablir que g et h v´erifient n´ecessairement pour tout x∈R
f(x)+f(−x) f(x)−f(−x)
g(x) = ; h(x) = .
2 2
+ −2. Montrer que f et f d´efinies surR par
f(x)+f(−x) f(x)−f(−x)+ −∀x∈R, f (x) = ; f (x) =
2 2
sont respectivement paire et impaire et que pour tout x∈R,
+ −
f(x) = f (x)+f (x).
3. Conclure.
R´esolution de (1)
+ 00 −1. Montrer que f est solution de (1) si et seulement si f est solution de y +y = 0 et f est solution de
00y −y = x cos(x).
+ +2. En d´eduire a` quoi est ´egal f (on n’oubliera pas le r´esultat ´enonc´e dans la partie 1 et que f est paire).
− −3. End´eduirea`quoiest´egalf (onn’oublierapasler´esultat´enonc´edanslapartie1etquef estimpaire).
4. Conclure. A quoi sont ´egales les parties paire et impaire de exp?
Proble`me 3. Une courbe de niveau
On identifie les points du plan euclidienP aux nombres complexes via le rep`ere orthonorm´e direct habituel
−→ →−
(O, i , j ).
∗Dans la suite, si z∈C ,on note arg(z) l’argument de z compris dans [0,2π[.
Th´eor`eme de l’angle au centre et de l’angle inscrit
π iαSoit α∈]0, [. On note a = e . Soit z∈U diff´erent de a et a.¯
2
1. On suppose que arg(z)∈]α,2π−α[.
(a) Soient A,B et M les images respectives des nombres complexes a,¯ a et z. Tracer la configuration
obtenue.
−−→ −−→\
(b) D´eterminer l’angle orient´e (MA,MB) en fonction de α.
−→ −→ −−→ −−→\ \
(c) Exprimer (OA,OB) en fonction de (MA,MB).
2. On suppose que arg(z)∈ [0,α[∪]2π−α,2π[.
3(a) Soient A,B et M les images respectives des nombres complexes a,¯ a et z. Tracer la configuration
obtenue.
−−→ −−→\
(b) D´eterminer l’angle orient´e (MA,MB) en fonction de α.
−→ −→ −−→ −−→\ \
(c) Exprimer (OA,OB) en fonction de (MA,MB).
3. En d´eduire le th´eor`eme de l’angle au centre : Soient A et B des points distincts d’un cercle C de centre
Ω et de rayon r > 0. Si M appartient a` C, alors
−→ −→ −−→ −−→\ \
(ΩA,ΩB) = 2(MA,MB) mod 2π.
Et celui de l’angle inscrit : Soient A et B des points distincts d’un cercleC de centre Ω et de rayon r > 0.
0 1Si M et M appartiennent au cercleC et sont situ´es dans le mˆeme demi-plan d´elimit´e par la droite (AB)
alors
−−→ −−→\−−→ −−→\ 0 0(MA,MB) = (M A,M B) mod 2π.
Un lieu de points
√ √
Soient a = 3+i et b = 1+ 3 d’image A et B respectivement. On veut d´eterminer l’ensemble des points
M tels que
−−→ −−→ π\
(MA,MB) = mod 2π. (3)
12
On note z l’affixe de M.
π0 −i 0
41. On pose z = e z. Montrer que cela revient a` d´eterminer `a quelle condition z v´erifie
π0 i12z −2e π
arg = mod 2π.π0 −i12z −2e 12
2. Montrer que la condition pr´ec´edente est ´equivalente `a
π π0 −i 0 i ∗0 12 12z z e −4Re(z )+4e ∈R .+
0 0 π 11π3. En d´eduire que|z| = 2 et arg(z )∈] , [.12 12
4. En d´eduire a` quelle condition sur z, M v´erifie (3).
5. D´ecrire g´eom´etriquement l’ensemble des points M v´erifiant la condition (3).
1Une autre mani`ere de le dire : situ´es sur le mˆeme arc de cercle d´elimit´e par les points A et B.
4

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