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PC 2009-2010 DEVOIR MAISON N° 3 Mercredi 30 septembre ! Mercredi 7 octobre - Moteur à air comprimé (ENSAIT 99)

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Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 7
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DM février 2012
PCSI
COMMANDE DU PLAN HORIZONTAL D’UN EMPENNAGE D’AVIONMise en situation Un empennage d’avion est composé de deux parties :la première, plan horizontal et gouverne, assure la stabilité en profondeur de l’avion,la deuxième, queue arrière, assure la stabilité en direction. Figure 1
Nous nous intéressons dans ce sujet au système qui permet d’asservir en position le plan horizontal (qui entraîne dans son mouvement la gouverne). Par contre les mouvements relatifs plan horizontalgouverne ne seront pas étudiés. Le schémabloc de ce système est donné cidessous : Figure 2
La commande en position du plan horizontal est assurée par un vérin à vis. Un moteur hydraulique asservi en position, à partir d’une consigne délivrée par un servomoteur, entraîne un réducteur, constitué d’un réducteur à roues coniques et d’un différentiel, lié à la vis du vérin à vis. La rotation de cette vis entraîne la translation d’un écrou qui permet le déplacement du plan horizontal.
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Les fonctions de ce système sont décrites cidessous :
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Travail demandéLes parties I et II sont indépendantes et peuvent être traitées par les candidats dans l’ordre de leur choix.Dans toute cette étude, le repère R lié à l’avion (bâti 0) est considérécomme galiléen.Partie I  Étude de la fonction asservissement La solution retenue pour le boîtier comparateur (voir figure 2) est un train épicycloïdal dont le schéma est donné cidessous : Figure 3 2Repère R ( ) lié au bâti0, axe 4 vertical ascendant,  , , 3 , . O  Zi: nombre de dents de la pièceiavec  . 10 I.AImmobiliser par rapport au bâti0, successivement une des trois entrées possibles de ce train épicycloïdal et établir, sous forme littérale, pour chaque cas, en fonction
de Z1 et Z2, le rapport
 des taux de rotation des deux autres entréesi etj
accessibles. (Vous pouvez partir de la raison du train épicycloïdale et déterminer     quandrelation entre la , et le nombre de dents des différentes     la relation entreetet pour finir quand roues dentées, puis quand     la relation entreet)
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I.BLorsqu’une des trois entrées possibles du train épicycloïdal est bloquée, le cahier
des charges impose :
et
. En fonction des rapports obtenus à la
question précédente, préciser alors à quelle partie du train épicycloïdal sont liés respectivement le servomoteur, le vérin à vis et le distributeur. I.CAfin de répondre au cahier des charges, déterminer alors le nombre de dents de chacune des roues dentées de ce train épicycloïdal. I.DDéterminer la relationlorsqu’aucune des trois entrées possibles du train épicycloïdal n’est bloquée. Montrer alors que le boîtier comparateur peut être représenté par le schéma fonctionnel cidessous afin que la boucle représentée dans la zone Z (voir figure 2) soit à retour unitaire. Figure 4
I.EConsidérons maintenant la zone Z (partie analogique de l’asservissement). Le distributeur délivre un débit Q que l’on peut considérer comme proportionnel à l’écart d’angleson gain est noté . La fonction de transfert du moteur hydraulique et
 peut être représentée par un deuxième ordre avec intégrateur. Nous avons
avec :
p : variable de Laplace,  : pulsation propre du moteur,liée à son inertie et à celle de l’arbre commandé ainsi qu’à la compressibilité de l’huile,: coefficient d’amortissement réduit lié à la compressibilité de l’huile et aux frottements visqueux du moteur.
On prendra :
,
et
.
Le réducteur est équivalent à un système à action proportionnelle. Son gain est noté .
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Le schémabloc cidessous résume les données qui viennent d’être précisées :Figure 5
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L’arbre de sortie du moteur hydraulique choisi a une fréquence maximale de rotation égale à 3 000 . Le pas pvde la vis du vérin à vis est égal à 5 mm. La vitesse maximale de l’écrou doit être de 0,07 . Montrer que le rapport de réduction est égal à 0,28. I.FDéterminer l’expression littérale de la fonction de transfert en boucle ouverte de l’asservissement de la positionla vis, soit  de . Faire ensuite
l’application numérique pour . I.GPour cette valeur de , tracer dans le plan de Bode , le lieu asymptotique en
phase et en amplitude de la fonction de transfert
.
I.Hà 0 dB à partir du diagrammeDéterminer la pulsation de coupure approchée asymptotique de module. En déduire la marge de phase correspondante. Déterminer la marge de gain approchée obtenue à partir des diagrammes asymptotiques. Partie II  Étude de la chaîne de puissance La chaîne de puissance est composée de deux moteurs hydrauliques, d’un réducteur à roues coniques, d’un différentiel et d’un vérin à vis. Un seul moteur hydraulique est en fonctionnement, le deuxième permet de pallier à toute avarie du premier. Un schéma cinématique simplifié de la chaîne de puissance est donné cidessous (voir figure 6). Les moteurs hydrauliquesM1 etM2 sont identiques. La transmission de puissance de chaque moteur hydraulique vers la visv est assurée par un réducteur à roues coniques (réducteur composé des roues1 et2le moteur pour M1, réducteur composé des roues6 et7le moteur pour M2). Un différentiel, constitué des roues dentées3,4,5et du portesatellitesv, complète le dispositif. Les roues dentées2et 3sont en liaison encastrement ainsi que les roues dentées5et6.
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Le centre d’inertie d’une roue dentéeiest noté (ce point est bien évidemment sur l’axe de symétrie de la roue dentée) et son rayon primitif est noté Rpi. Le point Ovest
tel que = 33 dents,
= 13 dents,
. Nous avons : = 18 dents, = 32 dents, = 33 dents, = 25 dents, = 14 dents. Le
mouvement de rotation, autour de l’axe
, d’un solidekpar rapport à un solideiest
caractérisé par le vecteur rotation : . Figure 6 0 2 14Moteur M15Moteur M2 00 7 0 6 Vis v Ecrou r ݖNous allons dans cette partie : vérifier que les moteurs hydrauliquesM1 etM2 permettent la même cinématique pour la visv, justifier le rôle du différentiel, vérifier le dimensionnement des moteurs hydrauliquesM1etM2. II.ASoit I le point de contact des roues dentées3 et4 (voir figure 6). Déterminer
en fonction de et. Sachant qu’il y a roulementsans glissement au point I entre les roues dentées3et4,, en déduire une relation scalaire entre , et . II.BSoit J le point de contact des roues dentées4 et5 (voir figure 6). Déterminer
en fonction et. Sachant qu’il y a roulement sans glissement au point J entre les roues dentées5 et4,, en déduire une relation scalaire entre , et . II.C, en déduire alors une relation entre , et Sachant que .
II.DSi et de
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 avec et . Faire l’application numérique.
, calculer
 en fonction de
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Si avec et , calculer en fonction de et de. Faire l’application numérique.Pour un sens de rotation imposé à la visv, conclure quant au sens de rotation des moteursM1etM2. Comparer le rapport de réduction de cet ensemble réducteurdifférentiel avec le résultat trouvé à la question I.E. Justifier le rôle du différentiel constitué des pièces3,4,5etv. II.EConsidérons maintenant uniquement le soussystème qui permet la transmission de puissance entre la visvle plan horizontal et e (voir figure 7). La visven est
liaison hélicoïdale d’axe
avec l’écrouret en liaison pivot d’axe
avec le carterc. Celuici est en liaison pivot d’axe
avec le bâti0.
Le plan horizontaleest en liaison pivot d’axeavec le bâti0. Le mouvement de l’écrourest transmis au plan horizontalepar l’intermédiaire de la liaison . Le paramétrage est donné sur la figure 7 :
 avecGrcentre d’inertie de l’écrour,
 et
. Les paramètres a, b et h sont constants, mais dépend du temps. Le pas de la liaison hélicoïdale est noté pv. Lorsque le paramétrage n’est pas défini, on utilise pour le torseur cinématique caractéristique du mouvement du solide jpar rapport au solidei, la notation suivante :
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.
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Figure 7  Bâti 0 Carter cPlan horizontal e Vis v  θcrou rݖ ܤâti 0 θݖܣ(x , x )  (y , y )     ψφTracer le graphe des liaisons, en précisant leurs caractéristiques, puis écrire au point
A, dans la base, le système d’équations issu de la fermeture cinématique de ce graphe. II.FLe constructeur a choisi une liaison rotule de centre A pour réaliser la liaison
. Déterminer la relation conditions initiales nulles.
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. En déduire la relation
en supposant les
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