Transformations complexes du plan

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Mathematiques BTS1 CIRA Transformations complexes du plan 1 – L'application z 7? z? = z + a On appelle translation de vecteur ?? V , la transformation qui a tout M du plan associe le point M' tel que ???? MM ? = ?? V . Si z est l'affixe de M , z? est l'affixe de M ? a est l'affixe de ?? V alors on a : z? ? z = a donc z? = z + a L'application z 7? z + a caracterise la translation de vecteur ?? V d'affixe a 2 – L'application z 7? z? = z On appelle symetrie par rapport a Ox, la transformation qui a tout M du plan associe le point M' tel que Ox est la mediatrice de [MM ?]. Si z est l'affixe de M et z? est l'affixe de M ? alors on a : z? = z L'application z 7? z caracterise la symetrie par rapport a Ox 3 – L'application z 7? z? = k.z ou k ? R On appelle homothetie de centre O et de rapport k ? R , la transformation qui a tout M du plan associe le point M' tel que ???? OM ? = k. ??? OM . Si z est l'affixe de M et z? est l'affixe de M ? alors on a : z??0 = k.

  • om ?

  • y?2 ?

  • translation de vecteur ??

  • transformations complexes du plan

  • cercle passant par l'origine

  • origine

  • x?2

  • equation

  • image a' par l'inversion


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Transformations complexes du plan
Math´ematiquesBTS1CIRA
0 1 –L’applicationz7→z=z+a −→ On appelle translation de vecteurVudlpnasa`itauoMtointMtesocielepeuqlla,rofsnartuqnoitam −−−→ 0−→0 0−→0 M M=V. Sizest l’affixe deM,zest l’affixe deM aest l’affixe deValors on a :zz=adonc 0 z=z+a
−→ L’applicationz7→z+aire´alesnarttalscactraiondevecteurVd’affixea 0 2 –L’applicationz7→z=z Onappellesyme´trieparrapport`aOxtMineltieocpolealpussanota`dMtuofmrarsnqniutaoi,lat 0 00 0 queOxtricede[al´mdeaietsM M]. Sizest l’affixe deMetzest l’affixe deMalors on a :z=z
L’applicationz7→zairsaelct´ecr´etrasymrrpaeiapa`optrOx 0 3 –L’applicationz7→z=k.zou`kR Onappellehomoth´etiedecentreOetderapportkRla,antrrofsitamuqnota`iosicnasaudlpuoMtele −→ 0−−→00 0 point M’ tel queOM=k.OM. Sizest l’affixe deMetzest l’affixe deMalors on a :z0 =k.(z0)
L’applicationz7→k.zou`kRrappectadeortdeite´htOertneceri´ectramoholsek
[Ste´phaneLEMETEIL10-4-2006]
Lyc´eeRobertSchuman
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4 –L’applicationz7→z=a.zou`|a|= 1etarg(a) =θ 0
Math´ematiquesBTS1CIRA
On appelle rotation de centre O et d’angleθartal,tamrofsn`auinqioupMduttoalansscoeielopnit −−→−→0 00 0 M’ tel queOM ,OM=θetOM=OM. Sizest l’affixe deMetzest l’affixe deMalors on a : 0 0 |z|=|z|etarg(z) =θ+arg(z)
L’applicationz7→a.z`uo|a|= 1 etarg(a) =θOeteteddncenertarotatiot´eriselccaraelgnaθ
5 –L’applicationz7→z=a.zou`a6= 0,|a|=k >0etarg(a) =θ 0
+ On appelle similitude de centre O, de rapportkRet d’angleθansformationqui`atoutMdu,alrt −−→0 0 0 plan associe le point M’ tel queOM ,OM=θetOM=k.OM. Sizest l’affixe deMetzest l’affixe 0 00 deMalors on a :|z|=k.|z|etarg(z) =θ+arg(z)
L’applicationz7→a.zou`a6= 0|a|=ketarg(a) =θortrapp,Oedtneredecutedsilalimi´ectseriarac + kRet d’angleθ
1 0 6 – z7→z= z
1 0 00 0 Sizest l’affixe deMetzest l’affixe deMalors on a :|z|(= ,z6= 0) etarg(z) =arg(z) |z|
image d’une droite
Onconside`reladroited´equationax+by+c= 0,aetbtemespmeslunˆmne.nptsaseno 1 1 0 00 0 Siz= alorsz= .Notonsz=x+iyetz=x+iy, on a alors : 0 z z 0 0 1x y x+iy= =i 0 0 02020202 x+iy x+y x+y 0 0 x y Lorsqu’on remplacexetydansax+by+c= 0, on obtient alors :ab+c= 0 02020202 x+y x+y
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Lyce´eRobertSchuman
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er 1 cas:c6= 0 0202 Alors,onmultiplietoutel´egalit´eparx+yet on la divise parc, on obtient : 2 2 a ba ba+b 02020 0202 x+y+xy= 0 donc (x+ (+ )y) = 2 c c2c2c4c Onreconnaıˆtalorsl´equationduncerclepassantparlorigine.Eneet,lecouple(0,0)ve´riel´equation. Re´capitulons:limagedunedroitenepassantpasparloriginedontl´equationest:ax+by+c= 0 est le 2 2 a ba ba+b 02020 00202 cercled´equationx+y+xy= 0 donc (x+ )+ (y) =, passant par l’origine 2 c c2c2c4c maisprive´delorigine.
Graphiquement,ilestrapidededessinercecercle.Eneet,sionconsid`erelepointAdeladroitele 1 0 plus proche de O, on a :|z|=|zA|minimum donc|z|=|zA|maximal. Le cercle passant= est 0 |zA| parO,OAestmaximallorsqueAestdiam´etralementoppose´a`O.Doncpourdessinerlecercleimage, 1 0 oncommencepard´eterminerApuissonimageAparlinversion.OA= etarg(zA=arg(zA). 0 |zA| Enn,ontracelecercledediame`treOA.
eme 2 cas:c= 0 0 0 x y Lorsqu’on remplacexetydansax+by= 0, on obtient alors :ab= 0 02020202 x+y x+y 02020 0 Alors,onmultiplietoutele´galit´eparx+y, on obtient :axby= 0 Onreconnaıˆtalorsl´equationdunedroitepassantparlorigine.Eneet,lecouple(0,0)v´eriel´equation. Parailleurslesdeuxdroitessontsyme´triquesparrapport`alaxedesabscisses. Re´capitulons:limagedunedroitepassantparloriginedontl´equationest:ax+by= 0 est la droite 0 0 passantparloriginedontle´quationest:axby=0dee´virpi.geinrole
image d’un cercle passant par l’origine
1 1 Puisqu’en appliquant deux foisf:z7→eemmˆaunteiverno,z, on a :f of=Iddoncf=f. L’image z duncerclepassantparlorigine(maisprive´decelle-ci)seraunedroitenepassantpasparlorigine(mais priv´edecelle-ci). Cedessinseralemeˆmequeceluidelimagedunedroitenepassantpasparlorigine.
[St´ephaneLEMETEIL10-4-2006]
Lyce´eRobertSchuman
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