Colle N°03

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S03 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. NOMBRESCOMPLEXES Notation alg´ebrique des nombres complexes 2Th´eor`eme*.— Pour tout nombre complexe z∈C, il existe un couple de nombres r´eels (x,y)∈R , unique, tel que z = x+iy D´efinition : Le nombre r´eel x est appel´e la partie r´eelle de z et not´e Rez, y est appel´e la partie imaginaire de z et not´e Imz. Le nombre complexe x−iy est appel´e le conjugu´e de z, on le note z¯. ′• Rez =Rez2′ ′Th´eor`eme*.— Pour tout couple (z,z )∈C de nombres complexes z = z ⇐⇒ ′• Imz =Imz Proposition.— Formules du binˆome et identit´e g´eom´etrique —. n nX X n2 n+1 n+1 k n−k n k n−k∀(a,b)∈C , ∀n∈N, a −b = (a−b)× a b et (a+b) = a b k k=0 k=0 Illustration :le plan complexe, interpr´etation g´eom´etrique de l’addition des nombres complexes. D´efinition : Soit z ∈ C un nombre complexe. Le nombre zz¯ est un nombre r´eel positif. On appelle module de z, et√ √ 2 2on note |z| le nombre r´eel positif |z| = zz¯= Rez +Imz . Nombres complexes complexes de module 1 iθD´efinition : Soit θ∈R, on appelle exponentielle imaginaire d’angle θ, et on note e le complexe : iθe = cosθ+isinθ Proposition*.— Repr´esentation des nombres complexes de module 1 iθ• Pour tout nombre complexe z∈U, il existe θ∈R tel que z = e , ′2′ iθ iθ ′• Pour tout couple (θ,θ )∈R de r´eels, e = e ⇐⇒ θ≡ θ [2π] 2′Th´eor`eme.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 30
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S03

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit

NOMBRES COMPLEXES

Notationalg´ebriquedesnombrescomplexes

The´or`eme*.—Pour tout nombre complexez∈Cil existe un couple de nombres, r´eels(x y)∈R2,unique, tel que
z=x+iy

De´finition:Lrerbmone´eelxestal´elappeitrepraele´ledezntee´toRez,yatsepeapell´partie imaginairedez
etnot´eImz. Le nombre complexex−iypatseeell´pe´egujuoncdez, on le notez¯.

Th´eor`eme*.—Pour tout couple (z z′)∈C2de nombres complexesz=z′⇐⇒

•Rez=Rez′
•Imz=Imz′

Proposition.—Formulesdubinˆomeetidentit´eg´eom´etrique—.
∀(a b)∈C2∀n∈N an+1−bn+1= (a−b)×nkX=0akbn−ket (a+b)n=k=Xn0knakbn−k

Illustration :omscremb.esexplirtedeuq´gno´moendionoes’aelitddnaocpmelellppr´etatixe,inter
De´finition:Soitz∈Cun nombre complexe. Le nombrezz¯etsfitianO.leppelnounrembeer´oslpmoduledez, et
on note|z|lnemorbree´lefitisop|z|=√zz¯ =Rez2+Imz2.
Nombres complexes complexes de module 1
D´efinition:Soitθ∈R, on appelleexponentielle imaginaire d’angleθ, et on noteeiθle complexe :

eiθ= cosθ+isinθ

Proposition*.—Repr´esentationdesnombrescomplexesdemodule1
•Pour tout nombre complexez∈ U, il existeθ∈Rtel quez=eiθ,
•Pour tout couple (θ θ′)∈R2´redslee,eiθ=eiθ′⇐⇒θ≡θ′[2π]

The´or`eme.—Re`glesdecalculpourl’exponentielleimaginaire—.Pour tout couple (θ θ′)∈R2r´deslee
1 ei0= 1 3 e−iθ= 1eiθ=eiθ
2 ei(θ+θ′)=eiθ×eiθ′4 ei(θ−θ′)=eiθeiθ′

The´ore`me.—Formulesd’EuleretMoivre—.tu´rruotoPleeθ∈Ret tout entier relatifn∈Z,
Eulercosθ= 1ei iθMoivreeiθn=einθ
sinθ221=ieθiθ+−ee−−iθ cosθ+isinθ)n= cosnθ+isinnθ

Applications`alatrigonom´etrie

Lemme.—

Factorisation d’une somme d’exponentielles imaginaires —.Soit (θ1 θ2)∈R2, alors

θ1−θ2
eiθ1+eiθ2 2= 2 coseiθ2+1θ2

eiθ1−eiθ2= 2isinθ1−θ2eiθ21+θ2
2

1

Proposition*—Rappelsdetrigonom´etrie—.Formules d’addition, de duplication, de transformation de produit
.
en somme , de sommes en produit (cfprogramme de S01bis)

Savoir-faire.—rtgioisnnotcdtfeoduiunpriser´earrevninoitare´po’tlseueiqtr´eomonformulesdeesnetulisinaltsenil
trigoeten utilisant lesformules d’Euler, MoivreetNewton.
Notation exponentielle d’un nombre complexe non nul

Proposition.—Soitz∈C⋆un nombre complexe non nul. Ilexisteuree´le(scnuolpdeρ θ)∈R+⋆×Rtel que
z=ρeiθ=ρcosθ+isinθ

Cette´ecritureestappele´exeemenopeitnoellriutnogoetm´quriefrodu nombre complexe non nulz.
D´efinition:Siz∈C⋆trice´’s,z=ρeiθmeneasritesecn´,ρ=|z|. On appelleun argumentdez, et on notearg(z)
toutnombrere´eltelquez=|z|eiarg(z)
.

The´ore`me*.—Pour tout couple (z z′)∈C⋆×C⋆de nombres complexes non nuls :
(z=z′)⇐⇒••arg(|zz)|≡=|azr′g|(z′) [2π]

Illustration :serbpmocexel.siplicationdesnome´rtqieuedalumtlatetr´rpom´engioetni
De´finition:Soitz=x+iyitl’lgnaioatotnnenfie´dnO.euqirbe´exponentielle dezparez=ex+iy
excosy+isiny)
Racni`
inesemesd’un nombre complexe
The´or`eme.—Soitn∈N,n≥2. Notonsωn= exp2πni. L’ensembleUndesracinesnis`emeinu’e´tdel

n
Un={ωkn;k∈Z}={1 ωn     ωn−1}

=exeiy

est :

=

Illustration :Repr´esentaitnoedrscanisen`emeside 1.
`
Th´eore`me.—Racinesniemesdea—.Soitn∈N,n≥2 eta∈C⋆. On noteωn= exp(2iπn). Soitζ0une solution
particuli`ereequation’´eldzn=a, par exempleζ0=n|a|eiargna. Alors

S={ζ0 ζ0ωn ζ0ωn2     ζ0ωnn−1}={n|a|eiargnan|a|eiargna+2πn|a|eiargna+4π    n|a|eiarga+2(nn−1)π
}

Autrement dit, on obtienttoutesles racinesni`emesdea∈C⋆en multipliant l’uned’entre elles partoutesles racines
ni`emesidteuln’.´e

Savoir-faire.—gle´rbqitotaoianr´eesenncinescardlucarselac.ue
Applicationauxe´quationspolynomiales

Proposition.—Soienta∈C⋆,b, etc∈C. Posons Δ =b2−4acrapsetdgnon´esiδlpxese)u’lcarsedenrrcaesinom(ces´e
deΔ.Alorsl’´equationdudeuxie`medegre´az2+bz+cdistons(lutiuxsonoudocfnseuonitcntsoui)qespo=0`essdede
do ´es par :
nne
−b−δ−b+δ
z1=z2=2a
2a
De plus, pour toutz∈C, nous avons la factorisation :az2+bz+c=a(z−z1)(z−z2)

Corollaire*.Soit (σ ρ)∈C2. Les solutions dansC2dt`emusys´’deauqenoitszz1+×zz22==σρ
—
1
complexesdontlescoordonn´eessontlessolutionsdel’e´quationpolynomialez2−σz+ρ= 0.

Savoir-faire.—ylopimonauqenoiturPos´le,3reeirua`gr´esup´alesdede
•

•

trouverunesolutionparticuli`ere(´evidenteouensuivantlesindicationsdel’´enonce´),
effectuerunchangementd’inconnuepourseramenera`une´equationdeplusbasdegre´
2

sont les couples de