Colle N°06: Fonctions usuelles

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+11 octobre 2012 PROGRAMME DE COLLE S05 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 57
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S05

semaine du 3+11 octobre 2012

NB :seulesp,oropisoe`rmeseoil´eesntions´etgixesee´nosesapt.mo´esdleoitartsn´htsedsn
FONCTIONS USUELLES (II)

Fonctionstrigonome´triques
Vousdevezconnaıˆtre,lesproprie´t´esdep´eriodicite´,deparite´,desym´etrie,ded´erivabilit´e,lesgraphes,leslimites
et l ` les de calcul pour les fonctions sin, cos et tan.
es reg

Proposition.—Soitx∈R,x6≡π[2π]. On poset= tanx Alors2 .

−2t
•cosx= 1t22•sinx=
1 +t1 +t2

La der i`re formule n’est valide que pourx6≡π2 [π].
n e

Interpre´tationgraphique

•

2t
tanx1=t2
−

Savoir-faire :udso´erqe´enuerrtnoitauigonom´etriquedealofmr(efcProgramme S01bis)
cosx= cosa
sinx= sina
tan(x) = tan(a)
acosx+bsinx=c.
Fonctionstrigonome´triquesr´eciproques

Proposition*.—La fonction restreinte sin|: [−π2;π2]→[−1; 1] est une bijection strictement croissante et continue.
Sonappliti´eciproqueArcsin:[−1; 1]→[−π2;π,pourtoutcouple(2e´v]efiirx t)ed´reesl
ca on r

t∈[−π2;π2] etx= sint⇐⇒x∈[−11] ett= Arcsinx

En pratique :pour montrer quet (= Arcsinx)
´vfiiresiernt=x
localisert∈[−π2 π2]

Th´eor`eme.—Propri´et´esdeArcsin—. [ :La fonction Arcsin−11]→[−π2;π2] est strictement croissante et
impaire. Elle est continue sur [−11] et de classeC∞sur ]−11[. De plus

pour toutx∈]−11[Arcsin′(x 1 1) =x2
−

Savoir-faire :tableau de valeurs, tableau de variation et graphe de la fonction

Proposition.—´irpe´teelefiorpsnvsiri´eioctrcnAes:sosnuaifvaLnt
Pour toutt∈[−π2;π2]Arcsin (sint) =t
Pour toutx∈[−11]sinArcsin (x)=x
Pour toutx∈[−11]cosArcsin (x)= 1−x2
Pour toutx∈]−11[tanArcsin (x)=1x−x2

en ecr ue.
Proposition*.—La fonction restreinte cos|: [0;π]→[− est une bijection strictem t1; 1] et contin d´ oissante
Sonapplicationre´ciproqueArccos:[−1; 1]→[0;π]vleup(ruottuoce´irefiopx ter)del´es

t∈[0 π] etx= cost⇐⇒x∈[−11] ett= Arccosx

1

En pratique :pour montrer quet= Arccos (x)
s´vifiercoert=x
localisert∈[0 π]

Th´eore`me.—Proprie´t´esdeArccos—.La fonction Arccos : [−11]→[0;πissante.Elleest]tsescirtemet´dtnorce
continue sur [−11] et de classeC∞sur ]−11[. De plus

pour toutx∈]−11[

Arc−1
cos′(x) = 1−x2

Savoir-faire :tableau de valeurs, tableau de variations et graphe de la fonction

Proposition.—oiAncrocLfanotc:aviusetnte´isse´spleprro´esvfieri
Pour toutt∈[0;π]Arccos (cost) =t
Pour toutx∈[−11]cosArccos (x)=x
Pour toutx∈[−11]sinArccos (x)= 1−x2
−x2
Pour toutx∈[−1; 1] {0}tanAr (x)= 1x
ccos

Corollaire.—

pour toutx∈[−11]

Arcsinx+ Arccosx=π2

Proposition*.—La fonction restreinte tan|:]−π2;π2[→Rest une bijection strictement croissante et continue.
Sonapplicationre´ciproqueArctan:R→]−π2;πuolp(e[2erv´epifirtoutcoux tls)ed´ree

t∈]−π2 π2[ etx= tant⇐⇒x∈Rett= Arctanx

En pratique :pour montrer quet= Arctan (x)
verifier tant=x
´
localisert∈]−π2 π2[

The´ore`me.—Proprie´te´sdeArctan—. :La fonction ArctanR→]−π2;π2[ est strictement croissante et impaire.
ElleestcontinueetmˆemedeclasseC∞surR. De plus

pour toutx∈RArctan′(x=)11+x2

Savoir-faire :tableau de valeurs, tableau de variation et graphe de la fonction

Proposition.—ifielv´erctanonArseuse´´tpoirserpanivs:teitcnofaL
Pour toutt∈]−π2;π2[Arctan (tant) =t
Pour toutx∈RtanArctan (x)=x
1
Pour toutx∈RcosArctan (x)=+2
1x
Pour toutx∈RsinArctan (x)=1x+2
x

Proposition.—

•

•

pour toutx∈R+⋆

pour toutx∈R−⋆

Arctanx+Arctan1=1π2π
x
Arctanx =+ Arctan−
x2

2