Colle N°12: Notions de base

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+9 d´ecembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S11 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. NOTIONSDEBASE Logique D´efinition : tables de v´erit´e des connecteurs logiques ´el´ementaires —. conjonction, disjonction, n´egation, implica- tion et ´equivalence. Proposition.— Propri´et´es des op´erations logiques ´el´ementaires —. commutativit´e, associativit´e, distributivit´es de OU et ET. N´egation d’une conjonction, d’une disjonction... D´efinition : Quantificateurs —. Les propri´et´es d’un ensemble E sont de l’un des deux types suivants : Type Existentiel : Il existe (au moins) un ´el´ement x de E v´erifiant P. On note (∃x∈E) P(x) Type Universel : Tous les ´el´ements x de E v´erifient P. On note (∀x∈E) P(x) Proposition*.— R`egles de calcul pour les quantificateurs —. non ∃x∈ E; P(x) ⇐⇒ ∀x∈E; nonP(x) non ∀x∈ E; P(x) ⇐⇒ ∃x∈E; nonP(x) ∀x∈ E, ∀y∈ F, P(x,y) ⇐⇒ ∀y∈ F, ∀x∈E ,P(x,y) ∃x∈ E, ∃y∈ F, P(x,y) ⇐⇒ ∃y∈ F, ∃x∈E ,P(x,y) Savoir-faire : prendre la n´egation d’une assertion quantifi´ee. Proposition.— Strat´egies pour une implication —. Soient P et Q des assertions. Les ASSE ~ w • P ⇒Qw w • nonP ou Qw w • nonQ⇒nonPw • non P etnonQ . Savoir-faire : d´emonstration par contrapos´ee, d´emonstration par l’absurde Ensembles 2D´efinition : Op´erations ´el´ementaires dansP(E)—. Soient E un ensemble, (A,B)∈P(E) , on d´efinit 1. A∪B ={x∈ E|x∈ Aou x∈ B}, la r´eunion de A et B.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 24
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S11

semainedu3+9d´ecembre2011

NB :seules,srpposoeroeemtoil´eesitions´eixesee´gosenaptns.emd´eslitartsnohtsedsno
´ `

NOTIONS DE BASE

Logique
De´finition:tablesdev´erit´edesconnecteurslogiquese´l´ementaires—.d,noojsiitcnn,nocjoontinc-´egation,implica
tionet´equivalence.

Proposition.—Propri´ete´sdesop´erationslogiquese´le´mentaires—.ivat´eitase,cisoitat´tivcummostuvitie´d,sirtbi
deOUetETncjoisedund’n,iotcnojnocenu’dnoi.N´egat...itno

De´finition:Quantificateurs—.sproLeet´epri´ensndsu’emelbEsont de l’un des deux types suivants :
Type Existentiel :l´´eenemtIleixts(euaomni)snuxdeEafiirtn´evP. On note(∃x∈E)P(x)
Type Universel :stneme´s´elusleToxdeEire´vntfieP. On note(∀x∈E)P(x)

Proposition*.—R`eglesdecalculpourlesquantificateurs—.
non∃x∈E;P(x)⇐⇒∀x∈E;non P(x)
non∀x∈E;P(x)⇐⇒∃x∈E;non P(x)
∀x∈E∀y∈F P(x y)⇐⇒∀y∈F∀x∈E  P(x y)
∃x∈E∃y∈F P(x y)⇐⇒∃y∈F∃x∈ PE (x y)

Savoir-faire :e.fiie´autnoiqnestrasne’undioategn´alerdnerp

Proposition.—Strate´giespouruneimplication—.SoientPetQdes assertions. Les ASSE
~•P⇒Q
• Q ounon P
•non Q⇒non P
w•non non QP et

Savoir-faire :aposontrparctionaritnots´dmee´,edeurbs’arlpaonnomearts´d
Ensembles

De´finition:Ope´rations´el´ementairesdansP(E)—.SoientEun ensemble,(A B)∈P(E)2dne´o,nfiti
1.A∪B={x∈E|x∈A ou x∈B}, lanue´rnoide A et B.
2.A∩B={x∈E|x∈A et x∈B}, l’intersectionde A et B.
3.∁EA={x∈E|x ∈A}, letniaermolpe´emcde A dans E.
4.A\B={x∈E|x∈A et x∈ B}, laderenciff´ede A et B.

Proposition*.Liensaveclesope´rationslogiquese´le´mentaires—.SoitEun ensemble,P Q:E→ {V F}des
—
proprbijectiveeelliestsuriveeive.jectaloftsa`ejtcsinidetseneml´´eesuvenuepe´esqi´etedlrsse´noopotnuE. Alors

∁E{x∈E|P(x)}={x∈E|(nonP)(x)}
{x∈E|P(x)} ∪ {x∈E|Q(x)}={x∈E|P(x)ou Q(x)}
{x∈E|P(x)} ∩ {x∈E|Q(x)}={x∈E|P(x)et Q(x)}

Proposition*.—Distributivit´es—.SoientA B Cdes parties d’un ensembleE.
1.’Letnicesrnoittdestrisutibesiv:onnieur´laurA∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
2.uslritevirubidtsnestunioar´eLioctn:nt’iseerA∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

Proposition.—

Caract´erisationducomple´mentaire—.SoientAetBdes parties d’un ensembleE,

B=∁EAsi et seulement si••AA∩∪BB=∅E.
=

1

Proposition.—Propri´ete´sdupassageaucompl´ementaire—.SoientA Bdeux parties d’un ensembleE

∁E(A∪B) = (∁EA)∩(∁EB)
∁E(A∩B) = (∁EA)∪(∁EB)

D´efinition:Fonctionindicatriced’unepartie—.SoientEun ensemble etA∈P(E)une partie deE. La fonction
indicatricedeAest l’application deEvers{01}e´en,to1IA:E→ {0; 1}i`atque´le´tuotnemxdeEassocie
six∈A
1IA(x) =01six ∈A 

The´oreme.—
`

SoientEun ensemble,AetBdeux parties deE, alors :

A=B

si et seulement si1IAI1=B

Proposition.—Re`glesdecalculpourlesindicatrices—.SoientAetBdes parties d’un ensembleE. Les fonctions
indicatri de∁EA,A∪B,A∩BetA\Bsont do ´
ces nnees par ;

1.1I∁EA= 1−1IA
2.1IA∩BI=1A1IB

3.1IA\BI1=A(1−1IB)
4.1IA∪BI=1A1+IB−1IA1IB

De´finition:Produitcart´esien—.Soient E, F deux ensembles, ledorpctiu´traieesneEdFeetl’stbmelneesin´dfie
parE×F={(x y) ;x∈E y∈F}´’Le´tilagecouxdedesleup(x y)et(x′ y′)estd´eiap:rcefae´ni
(x y) = (x′ y′)si et seulement sixy==xy′′
Applications
De´finition:Une applicationf:E→Fest dite :
1.injectivesi∀(x x′)∈E×Ef(x) =f(x′)⇒x=x′.
2.surjectivesi(∀y∈F)(∃x∈E) ;y=f(x).
3.bijectivetiverjec.jnceioisteusitevleelsiafalt`es

Proposition.—Compositionetinjectivite´,surjectivit´e—.Soitf:E→F,g:F→Gdeux applications.

•Sifetgsont injectives,alorsg◦fest injective
•Sifetgsont surjectives,alorsg◦fest surjective.

•Sig◦fest injective,alorsfest injective,
•Sig◦fest surjective,alorsgest surjective.

Proposition*.— point d ´ ations —.Soitf:E→Fune application.
e vue equ

fest bijectivesi et seulement sipour toutb∈F’le´uqtanio,f(x) =badmet une unique solution dansE.

De´finition:Applicationr´eciproqued’unebijection—.Soitf:E→Funebijectionniefinetuuvnoleel.´dnO
applicationf−1:F→E,appel´eeappleiquroipecr´onticadef, par
Pour tout couple(x y)yx∈=Ff−1(y)si et seulement siyx∈=Ef(x)

Th´eore`me.—Caract´erisationdel’applicationr´eciproque–.Soitf:E→Fune application.
fest bijectivesi et seulement siil existe une applicationg:F→Gtelle que•f◦g=IdF
•g◦f=IdE

En ce cas,g=f−1stel’applicationr´eicrpqoeuedf.

Proposition.—Compos´eedebijections—.Soientf:E→Fetg:F→Gdeux applications.
Sifetgsont bijectives,alorsocpamloee´sg◦fest bijective, et (g◦f)−1=f−1◦g−1

De´finition:imagedirecteetimagere´ciproqued’unepartie—.Soientf:E→Fune application,A⊂E B⊂F,
ond´efinit:
•l’image directedeAparfcomme la partie deF:f(A) ={f(x) ;x∈A}={y∈F| ∃x∈A;y=f(x)}
f¯1(B B}
•l’miice´regaueproqdeBparf, comme la partie deE:) ={x∈E|f(x)∈
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