Colle N°14: Entiers relatifs, arithmétique

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+13 janvier 2012 PROGRAMME DE COLLE S13 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´ENTIERSRELATIFS,ARITHMETIQUE Division euclidienne dans Z ⋆ Th´eor`eme.— Division euclidienne dans Z —.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S13

semaine du 3+13 janvier 2012

NB :seulesp,oropisoe`rmeseoil´eesntions´etgixesee´nosesapt.mo´esdleoitartsn´htsedsn
´
ENTIERS RELATIFS, ARITHMETIQUE

Division euclidienne dans Z

The´ore`me.—DivisioneuclidiennedansZ—.Pour tout couple (a b)∈Z×N⋆d’entiers tel queb6= 0, il existe un
couple (q r)∈Z2,uniquetel que
•a=bq+r
•0≤r < b

Proposition.—Soit (a b)∈Z×N⋆.bdiviseasi et seulement sile reste de la division euclidienne deaparbest nul.

PGCD de deux entiers
Soit (a b)∈Z2un couple d’entiers relatifs, on noteD(a bunmmcorsas`l’en)eledesbmsiuedsviaetb.
De´finition:Soit(a b)∈Z2un couple d’entiers relatifs, tel que(a b)6= (00)edemtnlee´.lpeLrgsu´dnaD(a b)est
appel´eplus grand diviseur communa`aetbientteCe.senttoe´nrtaruleP GCD(a b)ou encorea∧b

Proposition.—Soit (a b)∈Z×N⋆. Notonsrle reste de la division euclidienne deaparb. Alors

a∧b=b∧r

Savoir-faire :l’algorithme d’Euclidepdruo´eterminera∧be´atlbrinue,et´gelatuozeBede´tiparreet´onem.

The´ore`me.—Caracte´risationsduPGCD—Soit (a b)∈Z2, on noteaZ+bZ={ak+bℓ; (k ℓ)∈Z2}.
.
Pour tout entiernatureld∈Nsasserti,letnseostnnossiuavteens:qu´ealiv
~•d=a∧b
•aZ+bZ=dZ
w•(∀q∈N)(q|a) et (q|b)⇐⇒(q|d)

PPCM de deux entiers
L’ensembledesmultiplescommunsa`aetbestnot´eaZ∩bZ.
De´finition:Soit(a b)∈(Z⋆)2neitel’dletarersnonnifs,L’enuls.edelbmeseme´le´sesdntunupcoN⋆multiples com-
muns`aaetbtepse´tiutemulpnadappel´el´ement,plus petit multiple commun`aaetbtselerutanreitneet.Cenot´
P P CM(a b)ou encorea∨b.

Th´ ` .
eoreme —

Caracte´risationduPPCM—.Soit (a b)∈Z2. Pour tout entiernaturelm∈N, les asse :
~•m=a∨b
w•aZ∩bZ=mZ

Entiers premiers entre eux
D´efinition:Soit(a b)∈Z2. On dit queaetbsontpremiers entre euxsiD(a b) ={±1}.
Remarque :aetbsont premiers entre eux si et seulement sia∧b= 1.

The´or`.—The´ore`medeBezout—.Soit (a b)∈Z2.
eme

Proposition.—

a∧b= 1∃⇒⇐(u v)∈Z2 au+bv= 1

Soit (a b c)∈Z3.aet le produitbcsont premiers entre euxssiaest premier avecbetc.
1

The´or`eme.—

Th´eor`emedeGauss—.Soit (a b c)∈Z3.
•a|bc
•a∧b= 1

Proposition.—

⇒a|c

Soit (a b c)∈Z3. Siaetbdivisentceta∧b= 1, alorsabdivisec.

Proposition*.— Produit du PGCD et du PPCM —.Soit (a b)∈Z2, alors

(a∧b)×(a∨b) =|ab|

Application :r´loseoitunadnsZ2einnahtnse(´eesatqunsioopdidE)ax+by=c

.

Nombres premiers
De´finition:On appellenombre premiertout entier naturelp≥2dont les seuls diviseurs dansNsont 1 etp
lui-mˆeme.Unentiernatureln≥2qui n’est pas premier est ditc´semoop. Dans ce cas, il existe un entierk∈N,
1< k < ntel quek|n. On notePl’ensemble des nombres premiers.

Proposition*.—
•Tout entiern≥2 admet au moins un diviseur premier.
•Tout entiern≥reimerrpeuisivndsuinmoteuaaemdop´sc2moptnafiire´vp≤

The´or`eme*.—L’ensemblePdes nombres premiers est infini.

n.

The´ore`me*.—De´compositionprimaired’unentier—.Soitn∈N,n≥2. Il existe alors des nombres premiers
p1 p2     pN( avecp1< p2<  < pN), et des entiers naturels non nulsα1 α2     αN, uniques, tels que :

n=pα1×p2α2×    ×pNαN
1

Proposition*.— Diviseurs positifs d’un entier —.Soitn∈N,n≥ocpmsoe´2d,e´ofalsuospnu’demrdeitduro
facteurs premiersn=p1α1×p2α2×    ×pαNN. Les diviseurs positifs dentneisranutersluqis’´ecriventntsoustosele
sous la forme
d=pβ11×pβ22×    ×pβNNo`u0≤βi≤αi

The´ore`me*.—FactorisationduPGCDetduPPCMenproduitdenombrespremiers—.Soit (a b)∈N2, deux
entiersnaturelssup´erieursoue´gaux`a2donn´espar
a=p1α1×p2α2×    ×pαNNetb=p1β1×pβ22×    ×pβNN
o`up1 p2     pNexessapos,nt(dxueitsistcnlte,rembnoestdonsda`xuedsreimerpsαi), (βi) sont des nombres entiers,
positifs ou nuls. Alors
a∧b=pn(mi1α1β1)×p(mni2α2β2)×    ×pmNin(αNβN)
a∨b=p1max(α1β1)×p2m(xaα2β2)×    ×pNmax(αNβN)

Corollaire*.—Soit (a b)∈Z2deux entiers non nuls. Alors

aetbsont premiers entre euxssiaetbn’ont pas de diviseurs premiers communs.

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