Colle N°39: Fonctions de deux variables

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 20
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S39

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit

CHAMP DE VECTEURS

Potentiel scalaire d’un champ de vecteurs
Soit Ω un ouvert deR2.
D´efinition:Un champ de vecteurs dansΩest une application~V: Ω→R2. On note∀x= (x1 x2)∈Ω~V(x~) =
P1(x) P2(x). On dit queV~est continu (resp. de classeC1) dansΩsi ses composantesP1etP2le sont.

D´efinition:Soi~2e vecteurs de classeC1dansΩ. On dit que~Vieltentnuopev’de´ird
tV: Ω→Run champ d
~−−→
scalaires’il existef: Ω→Rde classeC1telle queV= gradf.
Definition :L’ouvertΩest dit´etoil´eraarppro`tapasi pour tout pointx∈Ω, le segment[ax]e´smetitx´re’daetx
´
estenti`erementcontenudansΩ.

Theore`me*.—th´eor`emedePoincar´e—.Soit~V= (P1 P2) un champ de classeC1ad´ert.il´teounnsveou
´

∂P2
V~eitnetopl´edund’veri⇐⇒∂P∂1=
x2∂x1

Circulation d’un champ de vecteurs
~
D´efinition:SoitV= (P1 P2)un champ de vecteurs continu dans un ouvertΩetΓ = ([t0 t1] M)etm´raparcnau´re
de classeC1nsrsdaaleu`vaΩ. On notef~(t) = (x1(t) x2(t))´ee.elsaosicceotirlectonnvioafl
On appellecirculationdeVle long deΓ, et on noteZ~Vraeg:lel’t´in
~
Γ
ZΓV~=Zt0t1V~(f~(t))|f~′(t)dt
=Zt0t1P1x1(t) x2(t)x′1(t) +P2x1(t) x2(t)x′2(t)dt
On note aussiZΓV~=ZΓP1dx1+P2dx2
Formule de Green-Riemann

Th´eor`eme.—Γ = ([t0 t1] M) un arc de classeC1simple (t7→f~(t) est injective dans [t0
trigonom´etrique.OnnoteDrslo.ArΓobdre´apdemoiaenl
∂P2
ZΓP1dx1+P2dx2=Dx∂x1x∂P∂21dx1dx2
−

1

t1selssnet´enaned]erito