Correction : Analyse, Développement limité d'une solution d'équation différentielle

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Développement limité. Equation différentielle. Fonctions trigonométriques réciproques.

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1.

2.

3.a

3.b

3.c

3.d

4.a

4.b

4.c

Correction

Soit:→ℝdeux fois dérivable etϕ:→ℝdéfinie parϕ()=cos () .ϕest deux fois dérivable
etϕ′′()=cos.′′()−2sin.′()−cos().() .
est solution surde l’équation différentielle considérée ssiϕ′′=0 i.e.
∃λ,∈ℝ,∀∈,ϕ()=λ+ce qui donne()=λco+s.
Soit:→ℝdeux fois dérivable et:→définie par()=(sin) .
est deux fois dérivable et∀∈,()=(arcsin) .
On a′()=′csari1(n2 t)e ′′()=′′1(ar−csi2n)+(′(1−arcs2)ni32 .)

Par suite :
∀∈,1(−2)′′()−3′()−()=0
2
⇔ ∀∈,′′(arcsin)−1−2′(arcsin)−(arcsin)=0
⇔ ∀∈,′′()−2sin′()−()=0 ,
cos
⇔ ∃λ,∈ℝ,∀∈,()=λ+
cos
arcs
⇔ ∃λ,∈ℝ,∀∈,()=λ1i−n2+
∃λ,∈ℝ,()=λarcsin+.
1−2
est donc∞par opérations sur les fonctions∞.
Par la formule de Leibniz :
((1−2)′′())()=(1−2)(+2())−2(+(1))−(−1)(())
et (3′())()=3(+1)()+3()() .
En dérivant à l’ordrel’équation (1−2)′′()−3′()−()=0
on obtient : (1−2)(+2)()−(2+3)(+1())−(+1)2 (())=0 .
On peut aussi procéder par récurrence, c’est plus sûr mais aussi plus lourd.
En évaluant en 0 :(+2)(0)−2()(0)=0 d’où+2=(+1)2.
2 2 2 2 2 2
2+1=(2)2−1=(2) (2−2) ...2 .1=2(!).
2=(2−1)22−2=(2−1)2(2−3) .2..1 .20=2((2(2!)!))220.
arcsin
֏
:12est solution de l’équation différentielle étudiée avec0=0 et1=1 .
−
La formule de Taylor-Young donne : ar1cs−in2=2=∑+1!+(2+1)=∑=22(2(+)!1)2!2+1+(2+)1.
00
:֏11−2est solution de l’équation différentielle étudiée avec0=1 et1=0 .
La formule de Taylor-Young donne :
2    
=∑+2=∑2+2.
    
11−2=0!)(=022(2()!!)2( )
En intégrant ce DL et sachant arcsin 0=0 : arcsin==∑022(2(2+())!1!)22+1+(2+1)

5.

2 2
Le coefficient de2+1dans le2+1)0(e a dn1rcsi2est 2( .)!
−(2+1)!

D’autre part on obtient un coefficient en2+1dans le développement du produit arcsin×112en

croisant un2+1 arcsindu DL deavec un2(−) , par suite le coefficient dedu DL de 12+1
1−2
dans le2+1(0) de arcsin× encore1 est
2
1−
(2)! (2(−))! 11 (2)! (2(−))!
=∑02(2+1)(!)×2−((−)!)=2=∑02+1 (!) ((−)!)
2 2 2( ) 2 2 2
122(−)16
d’où l’identité :=021 =( 1) 21
∑+ − + + mais était-ce raisonnable ?

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