Correction : Analyse, Etude d'une bijection

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Etude de fonction. Dérivation.

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Correction

d’après ESC Lyon 1994
1.aest définie surℝ+.
Par opérations,est continue surℝ+et dérivable surℝ+* avec′()=21−e−2.
Quand→0+,′()→ +∞. Par suiten’est pas dérivable en 0 maisy présente une tangente
verticale.
1.b Puisque′( du signe de 1) est−:
0 1+∞
1 e

()ր
0

1.c

1.d

1.e
2.a

2.b

2.c

2.d

.
ց
0

est deux fois dérivable surℝ+∗et′′()=24−2−e1−2du signe de2−2−1 .

0
2
−2−1−

1+2
0

++∞doncprésente un point d’inflexion enα=1+

L’équation de la tangente àenαest=′(α)(−α)+(α) .

Celle-ci intercepte l’axe des abscisses en=α−′(α)=α+2α=1+
(α)α−1
Ci-contre
est continue et strictement croissante sur 0,1 (car
′()> donc ) 0,10 sur 0,1réalise une bijection de
vers(0),(1)=0,1 e. De plus, par théorème, sont
application réciproque est continue.
ϕa même monotonie queet est donc strictement
croissante. De plus(0)=0 et(1)=1 e donne
ϕ(0)=0 etϕ(1 e ) 1 .
=

0
Par suite
ϕ()
0

ր

1 e
1

.

2+2 1+2=3
2

2 .

+2

2 .

est dérivable sur 0,1 et∀∈0,1 ,′()≠0 doncϕest dérivable sur( 0,1 )=0,1 e.
Et :2
ude en 0(1ϕ()−ϕ(0))=ϕ=()()=e.
Quand→0 , on a=ϕ()→ϕ(0)=0 puise2→0 . Ainsiϕest dérivable en 0 etϕ′(0)=0 .
Etude enβ=1 e : 1 .
(ϕ(β+)−ϕ(β))=ϕ(=β+)()−−1(1)
Quand→0 ,=ϕ(β+)→ϕ(β)= donc1 ,()−−1(1)→′(1)= puisque0 etest strictement
−−1
croissante, on peut même dire()−1(1)→0+d’où()(1)→ +∞.

Finalementϕ mais y présente une tangente verticale.n’est pas dérivable en 1 e

2.e

3.a

3.b

3.c

4.


On a(ϕ())=donc 2ϕ()eϕ() 2=. Quand→0 , on aϕ()→ϕ(0)=0 donc e−ϕ() 2→1 .
2


Par suite 2ϕ()∼puis après élévation au carré :ϕ(.4)
etemrtcites un ente issaécront d rus,1tion cst e+∞, elle réalise donc une bijection de 1,+∞vers
 
li+∞m,(1)=0,1 e.
ψet puisqu’elle réalise une bijection deest continue et strictement décroissante 0,1 evers 1,+∞
0 1 e
+∞
.
ց

on peut affirmer :[1,+∞[ =ψ(1


e
)), li0mψ. Par suiteψ()

1

Quand→0 , on aψ()→ +∞.
(ψ())=donneψ()e−ψ() 2=2ù d’oln1ψ()−21ψ()=ln.
Puisqueψ()→ +∞ ln, on aψ()=(ψ(2 odln )1nc)ψ()−21ψ()∼−12ψ() .
Par suiteψ()∼−2 ln.


ϕest croissante etψ−1décroissante doncest décroissante.(1)=ϕψ1(1)=ϕ )(1 e=1 .
1+∞
limψ−1=lim∞=0 et li0mϕ= li par composition :0 donc+∞m=0 . On résume :(1)ց
+∞ +
0

.

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