Correction : Analyse, Fonction de Lambert et étude d'une famille de fonctions

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Etude de fonctions. Dérivation.

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1.a

1.b

2.a

2.b

2.c
3.a

3.b

3.c

4.a

4.b

4.c

4.d

est∞et′()=(+1)e.


()

Correction

Partie I

−∞ −1
0ց−1 eր

+∞
+∞

.

Etude en−∞:()→−∞→0−. L’axe () est asymptote, courbe en dessous.
Etude en+∞:()→+∞→+∞. Branche parabolique verticale.
′′()=(+2)edu signe de+2 .
est convexe sur−2,+∞et concave sur−∞,−2 .
présente un point d’inflexion au point d’abscisse−2 .
Equation de la tangente en−2 :=′(−2)(+2)+(−2)
i.e.= −1e2(+4) .
Elle coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse−4 .
Ci-contre

est continue et strictement croissante sur−1,+∞doncréalise une bijection de−1,+∞vers

 lim( 1),[=−1 e ,+∞[. En symétrisant le tableau de variation de:()−−1e1ր∞+∞+.
+∞
est dérivable et′()=(+1)e≠0 sur−1,+∞doncest dérivable sur−1 e,+∞.
Nous verrons, ci-après, quen’est pas dérivable en 1 e
′()=′1=(()+1)e1 or()e()=donc′()=((())+)1p uro≠0 et(0)=1 .
( ( ))( )
Pour alléger posons=1 e . On a()= −1
d→+,()−()+1
Quan=en posant=()→ −1+.
− ()−(−1)
Or()−(−1)→0+car=et la −(−1)>0
+1′(− croissance de stricte1) 0donne ( )+1
nc()−()∞. La fonctionprésente une tangente verticale en.
do→ +
−
(0)=0 et(12)=12e1 2≥22on d1c 1∈ [(0),(1 2)]et par suite(1 2)∈0,1 2 .

( )=1eαorαeα=21nc do ϕ(α)=αeαe−α=α.
ϕ α2
ϕest dérivable par opérations etϕ′()= −1e2−doncϕ′()=e21−≤2 ru1s ℝ+.

La suite () est bien définie et à valeurs positives car∀≥0,ϕ()≥0 .
Pour tout∈ℕ,+1−α=ϕ()−ϕ(α) donc par l’IAF :+1−α≤21−α.
Par récurrence, on obtient :∀∈ℕ,−α≤210−αdonc−α→0 puis→α.

0−α=α≤1 2 doncα≤1 2+1.
21+1≤5.10−3⇔2+1≥200⇔≥log2100⇔≥7 .Pour=7 ,7est une valeur approchée deαà

5.10−3près. A la calculatrice,7=0,3519993... donc7=0,35 à 5.103près. Par suiteα=0,35 à

1.a

1.b

1.c
2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

3.c

3.d

5.10−3+5.10−3=10−près. Notons que pour=6 ,α=6à 10−2près mais cela ne permet pas de
justifier une valeur décimale adéquate compte tenu de l’addition des erreurs d’approximation.

Partie II

λest∞etλ′()= −e−+2λ=e(−1+2λ( du signe de)) est()−21λ.
−
En posantλ=(1 2λ) , on aλ()∞+∞ցλ(λλ)ր+∞+∞.
λ(λ)=e−λ+λ2λ=2λλ+λ2λ=λ(λλ+2) carλeλ=1 2λ.
Quand→ +∞,λ()→ +∞. Branche parabolique verticale.

Quand→ −∞,λ()→ −∞. Branche parabolique verticale.

Ci-contre.
λ=(1 2λ décroissante par composition.) est
Quandλ→ +∞, 1 2λ→0 or()→0→(0)=0 doncλ→0 .
Quandλ→0+, 1 2λ→ +∞or()→+∞→∞+doncλ→ +∞.


λeλ=1 2λdonc 2λλ=e−λ

.
Quandλ→ +∞,λ→0 , 2λλ=eλ→1 puisλ∼12λ
En passant au logarithme népérienλeλ=1 2λ ln, on obtientλ+λ= −ln(2λ) .
Quandλ→0+,λ→ +∞donc lnλ=(λ) donc−ln 2λ=λ+(λ)∼λ.
De plus ln 2λ=ln 2+lnλ∼lnλdoncλ∼−lnλ.
Siλ≤alors∀∈ℝ,λ()=e−+λ2≤e−+2doncλ()≤() .
De plus,λétant minimum deλ, on aλ(λ)≤λ() et doncθ(λ)≤θ() .
Ainsiθest croissante.
Quandλ→ +∞,λ∼21λdoncθ(λ)∼λ21λ21(λ+2)→1 .
Quandλ→0+,λ∼−lnλdoncλ∼λ(lnλ)2→0 .
θ(λ)−θ(0)λ(λ+2)→ +∞.
=
λ
La fonctionθn’est pas dérivable en 0 mais y présente une tangente verticale.
Quandλ→ +∞,θ(λ)→1−donc la droite d’équation=1 est asymptote, courbe en dessous.
Enλ=0 , la courbe est en l’origine avec une tangente verticale.
Enλ=2 ,λ=(1)=α. On aθ(1)=α(α+2) . Reste à calculerθ′(1) .
θ′(λ)=(λ(λ2+2λ))=′λ2+2λ+2λ′λ(λ+1) avec′λ=(21(λ))′−=21λ2′21(λ) donc
θ′(1)=α2+2α−(α+1()α2+α1)=α2.

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