Correction : Analyse, Moyenne de Césaro

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1.a

1.b

2.a

2.b

3.

1.a

1.b

1.c

2.

3.a

3.b

3.c

1.

2.a

Correction

Partie I

(1)1(0) (1)0(1)
σ+1−σ=+(++1−)(++2)⋯+=+−(++1)⋯(++2)+−≥0 .

() est une suite croissante de limiteℓdonc∀∈ℕ,≤ℓ. Par suite∀∈ℕ,σ≤ℓ+..+1.+ℓ=ℓ.
(σ) est croissante et majorée parℓdonc elle converge vers une limiteℓ′≤ℓ.
0 12 10 111 1
σ2+1=+⋯+2+++2+⋯++≥ +⋯+2++2++⋯++=2σ+2+1.
A la limiteℓ≥′12ℓ+′12ℓdoncℓ′≥ℓpuisℓ=′ℓ.
Soit () une suite décroissante de limiteℓet (σ) la suite de Césaro associée. Soit ( par) définie
= −et (τ suite de Césaro associée. Puisque) la () croît versℓ, (τ) croît aussi versℓ.
Orσ= −τdonc (σ vers) décroîtℓ.

Partie II

Puisque→ℓ:∀ε>′0,∃0∈ℕ,∀∈ℕ,>0⇒−ℓ≤ε′. En partant deε′=ε a le résultat2 on
voulu.
immédiat.

− + + −
0ℓ⋯+10ℓ→+∞→ l’existence de0 donne1.
ne :ε(−0)

>1entraîσ−ℓ≤2++1 2ε≤ε.
Pour=(−1),→0 et () diverge.
(3)
=∑=0+1=32((3+1+)1)∼231→0 et () n’est i pas bornée3→+∞→+∞.
pu sque
Supposons qu’il existe0∈ℕtel que0>ℓ. Pour tout≥0:≥0donc
σ0+⋯+10−10+⋯1+0+⋯+10−1−01+10. A la limite quand→ +∞:
= + ≥ +
+ + + +
ℓ≥0. Contradiction. En fait, le raisonnement par l’absurde ne s’impose pas ici et le précédent
raisonnement peut très bien être transposé pour former une démonstration directe.

Partie III

Par récurrence sur∈ℕ.
Pour= ok0 :
Supposons la propriété établie au rang≥0 .
    
=++1+⋯++1=+1+⋯++−1++car=+.

 
Récurrence établie.
+=(++1)σ+−(++1)=(0+⋯++)−(+1)−(1++⋯++)


donc+=(0+...+)−(+1)=(+1)σ−(+1)=

2.b

2.c

() est bornée par=max(0,…,−1 la périodicité de () car
∈ℕ:∈ {0,…,−1}.

→car
+1 (


σ=+

) bornée et 1+1

→0 .

) permet de dire que pour tout

Les commentaires (1)
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helali

parfait

mardi 26 novembre 2013 - 09:27