Correction : Analyse, Primitivation de fonctions périodiques

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Intégration. Espaces vectoriels.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Nombre de lectures: 31
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a

1.b

1.c

1.d

2.a

2.b

3.a

3.b

Correction

0∈0 et∀λ,∈ℝ,∀,∈0.
2π∫2π∫2πdλ+∈0.
(λ+)()=λ()+()=0 onc
0 0 0
Par suite0est un sous-espace vectoriel de.
D’autre part, la fonction nulle est une fonction constante et toute combinaison linéaire de fonctions
constantes est une fonction constante.
Par suiteest un sous-espace vectoriel de.
Soit∈0∩.
D’une part,est une fonction constante, posonssa valeur.
2π2π
D’autre part,()=0 donc =2π=0 puis=0 .
0 0
On conclut0∩= {0}.
=12π(). Considérons
Soit∈ :. Posons
2π0
la fonction constante égale àetla fonction définie par=−.
Pour ces fonctions on a :
=+: clair
∈: clair
2π2π
et∈0car()=∫0()−2π=0 .
0
Ainsi0+=.
Finalement0⊕=.
0∈et∀λ,∈ℝ,∀,∈on a, pour tout∈ℝ:
(λ+)(+2π)=λ.(+2π)+.(+2π)=λ.()+.()=(λ.+.)()
Doncλ+∈et ainsiest un sous-espace vectoriel de.
0=∩0(on peut guère faire plus rapide)
Existence :
Soitune primitive de.
Comme∈=0⊕, on peut écrire=0+avec∈ℝ.
0est alors primitive deet0∈0.
Unicité :
Soit0et1deux primitives solutions.
∃∈ℝtel que0=1+.
Mais alors=0−1∈0d’où=0 puisque∩0= {0}.
Ainsi0=1.
Soit,∈. Si()=() alors()′=()′d’où=.
Ainsiest injective.
En revanche, toute valeur prise parappartient par définition à0≠.
Par suiten’est pas surjective, ni a fortiori bijective.
+π π+π
2()=∫0()+∫20()+∫22().
π
2π 
r2π+( )==−2π∫0(+2π)=∫0()
O  
d’où+2π()=∫02π().
Sipossède une primitive 2πpériodique alors
2π
0()=(2π)−(0)=0 donc∈0.

3.c

4.a

4.b

5.a

5.b

5.c

5.d


Inversement, si érons:֏().
∈0alors consid0
est une primitive deet pour tout∈ℝ:
(+2π)=0+2π()=∫0()+∫+2π()=()
+
car2π()=∫02π()=0 .
() est une primitive de∈0, donc() se 2 déduit d’une fonctionπpériodique par l’addition
d’une constante, c’est donc une fonction 2πpériodique. De plus, par définition()∈0donc
()∈0.
1est primitive de0:֏1 donc1de la forme1:֏+.
2π
.
De plus01()=0 donc= −πpuis1()=−π
2est primitive de1donc2de la forme2:֏122−π+.
3 2
De plus2π2()=62(π)−π22(π)2+2πdonc=π.
03
2
Ainsi2()=122−π+π .3
∀≥1 on a∈0donc2π()=+()2π=0 .
00 1
Ainsi∀≥1,+1(2π)=+1(0) puis la propriété demandée.

( ) (−21)−21π+ + =(−21)−1∫2π( ) (+)=( )( )
ϕ(+2π)=()(2π)      ϕ 
π0π0
Doncϕ() est 2πpériodique.
On observe que֏()(+) est primitive de֏(+) .
Par intégration par parties :
2
ϕ1()()=21π∫0π(−π)(+)
=12π[(−π)()(+)]02π−12π∫02π()(+)

( )( 2 ) ( )
=π +2ππ+π()−21π∫+2π()()
=()()−12π20π()()=()()
(en exploitant pleinement()∈0)
Par intégration par parties :
ϕ+ =(−1)∫2π+)(+)
1( )( ) 2π0 1(
=(−21π)+()()(+)2π−(−12π)∫2π′+()()(+)
1 0 0 1
0 (−1)−12π )( (( ) ))( ) ( ( )
= +2π0 + =ϕ 
Par récurrence sur∈ℕ∗ou de la manière suivante :
1
ϕ()=ϕ−1(())=…=ϕ1(−())=() .