Correction de Devoir Libre N°02

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le mercredi 26 septembre 2012 ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚02 EXERCICE 1 1. Soit n ∈ N , x ∈ R. On suppose que x n’est pas congru `a 0 modulo n nX X 2π.

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le mercredi 26 septembre 2012
´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚02
EXERCICE 1
1. Soit n ∈ N , x ∈ R. On suppose que x n’est pas congru `a 0 modulo
n nX X
2π. On note C = cos(kx), et S = sin(kx). Calculons plutˆotn n
k=0 k=0
C +iS . LaformuledeMoivreetl’identit´eg´eom´etriquedonnent: M´ethode pourn n
calculer une somme
de fonctions trigo, onn nX X k passe en complexes!C +iS = cos(kx)+isin(kx) = cos(x)+isin(x)n n
comme park=0 k=0
n i(n+1)xX hypoth`ese x n’est e −1kix= e = pas congru `a z´eroixe −1
k=0 ixmodulo 2π, e = 1,
on peut donc appliquerFactorisons num´erateur et d´enominateur par l’exponentielle imagi-
l’identit´e g´eom´etriquenaire de l’angle moiti´e, il vient

n+1sin x
2 i(n/2)xC +iS = en n xsin
2
Finalement, en identifiant parties r´eelle et imaginaire de l’´egalit´e ci-
dessus, on obtient

n+1 nsin x cos x
2 2• C =n xsin 2
n+1 nsin x sin x
2 2• S =n xsin
2
N
nX n
2. Soit n ∈ N et x ∈ R. On note U = cos(kx), et V =n n
k
k=0 nX n
sin(kx). Calculons U +iV . Les formules de Moivre et den n
k
k=0
1
6

⋆⋆

Newton donnent :
nX n
U +iV = cos(kx)+isin(kx)n n
k
k=0
nX n k
= cos(x)+isin(x)
k
k=0
nX n kix ix n= e = (1+e )
k
k=0
La factorisation par l’exponentielle imaginaire de l’angle moiti´e,
donne est-il vraiment be-
xix ix/21+e = 2cos )e . soin de rappeler cette
2
formule??
Par cons´equent,
x xnix/2 n n inx/2U +iV = 2cos )e = 2 cos en n
2 2
Finalement, on conclut en identifiant parties r´eelle et imaginaire des
deux membres de l’´egalit´e ci-dessus que

x nxn n• U = 2 cos cosn 2 2
x nxn n• V = 2 cos sinn 2 2
N
EXERCICE 2
21. Soit θ ∈ R. On r´esout dans C l’´equation z − 2cos(θ)z + 1 = 0. Si
±iθon ne voit pas directement que e sont racines ´evidentes, on cal-
2 2cule le discriminant de l’´equation : Δ = 4cos (θ)−4 =−4sin (θ) =
2
2isin(θ) . On trouve donc deux racines (distinctes ou confondues)
iθ −iθqui sont z = cos(θ)+isin(θ) = e et z = cos(θ)−isin(θ) = e .N1 2
2. Soit n∈N un entier naturel non nul et a∈R un r´eel. Pour r´esoudre
dans C l’´equation
2n nz −2z cos(na)+1 = 0 (1)
nlechangementd’inconnuew = z s’impose!Compte-tenudelapremi`ere
question, (appliqu´ee avec θ = na) il vient

nw = z n ina n −ina(1) ⇐⇒ ⇐⇒ z = e ou z = e±inaw = e
2

⋆i`emes inaLes solutions de (1) sont donc les racines n de e et celles de
−inae :
n o n o
2(n−1)π 2(n−1)π2π 2πia ia+ ia+ −ia −ia+ −ia+
n n n nS = e ,e ,··· ,e ∪ e ,e ,··· ,e
N
3

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